Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

При монетах 1, 3 и 4 и сумме 6 сколько монет использует жадный метод «сначала самая крупная монета» по сравнению с оптимумом?

  1. AЖадный метод использует 2 монеты; оптимум — 2
  2. BЖадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2
  3. CЖадный метод использует 4 монеты; оптимум — 3
  4. DЖадный метод использует 3 монеты; оптимум — 3
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Сортировка вставками работает за O(n) на отсортированном входе. Противоречит ли это нижней оценке Ω(n log n) для сортировки сравнениями?

  1. AНет, потому что сортировка вставками не является сортировкой сравнениями
  2. BДа, но только для массивов короче 100
  3. CНет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
  4. DДа, значит, нижняя оценка неверна
3.Структуры данныхСредняя

Что происходит, когда хеш-таблица выполняет рехеширование после превышения порога коэффициента заполнения?

  1. AВыделяется таблица большего размера, и каждый ключ вставляется заново
  2. BСамые старые ключи удаляются, чтобы освободить место
  3. CВ новый список переполнения в конце таблицы переносятся только конфликтующие ключи
  4. DСуществующие ключи сортируются на месте
4.Структуры данныхСложная

Для каждого элемента массива нужно найти следующий больший элемент справа за общее время O(n). Какая структура поможет?

  1. AХеш-таблица всех элементов
  2. BСтек, хранящий элементы, ожидающие своего ответа
  3. CДвоичное дерево поиска, перестраиваемое для каждого элемента
  4. DОчередь, хранящая каждую пару элементов
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
193131129617ABCDEF

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 5; пропущенные рёбра не считаются.

k = 5
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Жадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2

Почему это ответ

Жадный метод берёт 4 + 1 + 1 = 3 монеты, а 3 + 3 — лишь 2, поэтому для этой системы монет жадный метод не оптимален; динамическое программирование оптимально.

Ответ

B · Жадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу

Почему это ответ

Оценка утверждает, что любой сортировке сравнениями нужно около n log n сравнений на некотором входе размера n; особые входы могут обрабатываться гораздо быстрее.

Ответ

C · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
3.Структуры данных

Ответ: A · Выделяется таблица большего размера, и каждый ключ вставляется заново

Почему это ответ

Поскольку индекс вычисляется по модулю размера таблицы, все ключи нужно заново хешировать в новую, большую таблицу; при удвоении это остаётся O(1) амортизированно.

Ответ

A · Выделяется таблица большего размера, и каждый ключ вставляется заново
4.Структуры данных

Ответ: B · Стек, хранящий элементы, ожидающие своего ответа

Почему это ответ

При проходе слева направо извлекают все элементы стека, меньшие текущего (текущий элемент — их ответ), затем помещают текущий; каждый элемент перемещается не более двух раз.

Ответ

B · Стек, хранящий элементы, ожидающие своего ответа
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Нечётные вершины

B, C, D, G → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: ребро BD

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. CE (2)
2. AC (3)
3. EF (6)
4. DF (9)
5. BD (11)

номер ребра 5

BD

Ответ

ребро BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms