Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Поиск в ширину в невзвешенном графе находит:

  1. AКратчайшие пути в графах, содержащих рёбра с отрицательными весами
  2. BМинимальное остовное дерево
  3. CТопологический порядок в любом графе
  4. DКратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Если взять оба конца каждого ребра максимального (по включению) паросочетания, получится вершинное покрытие. Насколько оно хорошее?

  1. AНе более чем в log n раз больше минимума
  2. BВсегда минимальное вершинное покрытие
  3. CНеизвестного качества по сравнению с оптимумом
  4. DНе более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия
3.Структуры данныхСредняя

Чему равно значение постфиксного выражения 3 4 + 2 * ?

  1. A14
  2. B11
  3. C10
  4. D24
4.Структуры данныхСложная

Узел АВЛ-дерева разбалансирован, потому что правое поддерево его левого потомка стало слишком высоким (случай левый–правый). Какое исправление применяется?

  1. AОдиночный левый поворот в узле
  2. BПравый поворот в левом потомке, затем левый поворот в узле
  3. CЛевый поворот в левом потомке, затем правый поворот в узле
  4. DОдиночный правый поворот в узле
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 3, 2 вершин степени 4, 2 вершин степени 5, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.Теория графовСложная
1510111175512122131ABCDEFG

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 6; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Кратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины

Почему это ответ

BFS посещает вершины в порядке расстояния (в рёбрах) от источника, поэтому находит кратчайшие пути в невзвешенном графе за O(V + E).

Ответ

D · Кратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Не более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия

Почему это ответ

Рёбра паросочетания не имеют общих вершин, поэтому оптимуму нужна хотя бы одна вершина на ребро, а этот метод берёт две: это 2-приближение.

Ответ

D · Не более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия
3.Структуры данных

Ответ: A · 14

Почему это ответ

Помещаем 3 и 4, + даёт 7; помещаем 2, * даёт 7 × 2 = 14.

Ответ

A · 14
4.Структуры данных

Ответ: C · Левый поворот в левом потомке, затем правый поворот в узле

Почему это ответ

Первый поворот превращает случай левый–правый в случай левый–левый, который затем исправляет правый поворот в несбалансированном узле.

Ответ

C · Левый поворот в левом потомке, затем правый поворот в узле
5.Теория графов

Ответ: L = 15

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 27 = 2(L + 7) − 2
L = 15

Ответ

L = 15

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: D

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 15, C: 10
2. C (10): E: 17, G: 12
3. G (12): D: 25, E: 13
4. E (13): D: 18, F: 25
5. B (15)
6. D (18): F: 23
7. F (23)

шаг 6

D

Ответ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms