Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что означает, что задача обладает оптимальной подструктурой?

  1. AЗадачу можно решить за постоянное время
  2. BОптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач
  3. CУ задачи ровно одно оптимальное решение, общее для всех подзадач
  4. DВсе подзадачи одного размера
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача о рюкзаке 0/1, решаемая динамическим программированием, требует O(nW) времени. Почему это называют псевдополиномиальным временем?

  1. AW — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
  2. BПотому что алгоритм рандомизированный, и время его работы меняется для каждого входа
  3. CПотому что он работает только при W = 0
  4. DПотому что n всегда мало
3.Структуры данныхСредняя

Префиксное дерево (trie) особенно эффективно для:

  1. AПоиска кратчайших путей
  2. BПоиска по префиксу, например автодополнения
  3. CХранения матриц
  4. DСортировки чисел
4.Структуры данныхСложная

Чем radix-дерево (сжатое префиксное дерево) лучше обычного trie?

  1. AОно сортирует потомков каждого узла по частоте
  2. BОно хранит только первую букву каждого слова
  3. CОно хранит каждое слово в хеш-таблице в корне вместо отдельных узлов
  4. DОно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 13 вершин и 18 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 13|E| = 18
k =
6.Теория графовСложная
213914161912ABCDEF

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины B. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 3.

начало: Bk = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Оптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач

Почему это ответ

Оптимальная подструктура необходима, чтобы и жадные алгоритмы, и динамическое программирование давали правильные ответы.

Ответ

B · Оптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W

Почему это ответ

Время работы полиномиально относительно значения W, но экспоненциально относительно его длины (log W битов); задача о рюкзаке 0/1 является NP-полной.

Ответ

A · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
3.Структуры данных

Ответ: B · Поиска по префиксу, например автодополнения

Почему это ответ

Trie хранит строки посимвольно вдоль путей, поэтому поиск и запросы по префиксу занимают время, пропорциональное длине ключа.

Ответ

B · Поиска по префиксу, например автодополнения
4.Структуры данных

Ответ: D · Оно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой

Почему это ответ

Сжатие путей без ветвлений уменьшает число узлов и расход памяти, сохраняя поиск по префиксу.

Ответ

D · Оно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой
5.Теория графов

Ответ: k = 6

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

13 − 1 = 12

Рёбра для удаления

k = 18 − 12 = 6

Ответ

k = 6
6.Теория графов

Ответ: ребро DE

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. BD (1)
2. AB (2)
3. DE (4)
4. BC (9)
5. DF (16)

номер ребра 3

DE

Ответ

ребро DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms