Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какой алгоритм сортировки является устойчивым?

  1. AБыстрая сортировка (типичная версия на месте)
  2. BСортировка выбором (типичная версия)
  3. CПирамидальная сортировка
  4. DСортировка слиянием
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Что последовало бы, если бы кто-то нашёл полиномиальный алгоритм для одной NP-полной задачи?

  1. AПроблема остановки стала бы разрешимой
  2. BКаждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP
  3. CВсе алгоритмы с экспоненциальным временем сразу стали бы работать за линейное время
  4. DТолько эта одна задача перешла бы в P
3.Структуры данныхСредняя

Какова стоимость вставки элемента в середину массива из n элементов?

  1. AO(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть
  2. BO(log n) из-за двоичного поиска
  3. CO(1), потому что индекс известен
  4. DO(n²), потому что каждый элемент сдвигается n раз
4.Структуры данныхСложная

Какая пара обходов всегда однозначно определяет двоичное дерево с различными ключами?

  1. AОдин только прямой
  2. BПрямой и обратный (preorder и postorder)
  3. CПрямой и симметричный (preorder и inorder)
  4. DОдин только обход по уровням
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
108171251820911ABCDEF

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины F. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 2.

начало: Fk = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро DF
  8. 8ребро EF
  9. 9ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Сортировка слиянием

Почему это ответ

Сортировка слиянием устойчива, если при равных ключах во время слияния сначала берётся элемент из левой половины. Быстрая сортировка на месте, пирамидальная сортировка и сортировка выбором обычно неустойчивы.

Ответ

D · Сортировка слиянием
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Каждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP

Почему это ответ

Поскольку весь класс NP сводится к любой NP-полной задаче за полиномиальное время, быстрый алгоритм для одной даёт быстрый алгоритм для всех.

Ответ

B · Каждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP
3.Структуры данных

Ответ: A · O(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть

Почему это ответ

Все элементы после места вставки сдвигаются на одну позицию вправо, что занимает время, пропорциональное n.

Ответ

A · O(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть
4.Структуры данных

Ответ: C · Прямой и симметричный (preorder и inorder)

Почему это ответ

Прямой обход даёт корень, а его позиция в симметричной последовательности разделяет левое и правое поддеревья; прямой обход вместе с обратным неоднозначен, когда у узла один потомок.

Ответ

C · Прямой и симметричный (preorder и inorder)
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: ребро CE

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. EF (9)
2. CE (5)
3. AC (8)
4. AB (10)
5. BD (12)

номер ребра 2

CE

Ответ

ребро CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms