Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что измеряет амортизационный анализ?

  1. AСреднюю стоимость одной операции в худшей последовательности операций
  2. BСтоимость алгоритма на лучшем входе
  3. CОжидаемую стоимость на случайных входах
  4. DСтоимость одной самой дорогой операции в любом месте последовательности
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n log² n)
3.Структуры данныхСредняя

Что верно для матрицы смежности неориентированного графа?

  1. AНа её главной диагонали всегда стоят единицы
  2. BВ каждой строке ровно одна 1
  3. CОна симметрична относительно главной диагонали
  4. DОна всегда верхнетреугольная
4.Структуры данныхСложная

Динамический массив удваивается при заполнении. Почему многие реализации уменьшают его, только когда он заполнен на четверть, а не наполовину?

  1. AПотому что уменьшение вдвое при половинном заполнении привело бы к потере элементов
  2. BПотому что распределитель памяти может освобождать память только четвертями блока
  3. CЧтобы массив оставался отсортированным
  4. DЧтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 7 вершин и 16 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 7|E| = 16
k =
6.Теория графовСложная
141716410112913ABCDEFG

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины C. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 5.

начало: Ck = 5
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BD
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро GD
  9. 9ребро GE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Среднюю стоимость одной операции в худшей последовательности операций

Почему это ответ

Амортизационный анализ распределяет стоимость редких дорогих операций на множество дешёвых, давая гарантированное среднее для любой последовательности.

Ответ

A · Среднюю стоимость одной операции в худшей последовательности операций
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Θ(n log² n)

Почему это ответ

Уровень k выполняет около n log(n / 2ᵏ) работы, и суммирование по log n уровням даёт Θ(n log² n) — расширенный второй случай основной теоремы.

Ответ

D · Θ(n log² n)
3.Структуры данных

Ответ: C · Она симметрична относительно главной диагонали

Почему это ответ

В неориентированном графе ребро {u, v} означает, что установлены и M[u][v], и M[v][u], поэтому матрица равна своей транспонированной.

Ответ

C · Она симметрична относительно главной диагонали
4.Структуры данных

Ответ: D · Чтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы

Почему это ответ

Уменьшение при половинном заполнении в такой последовательности могло бы вызывать изменение размера на каждой операции; промежуток между 1/4 и полным заполнением сохраняет амортизированную стоимость O(1).

Ответ

D · Чтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы
5.Теория графов

Ответ: k = 10

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

7 − 1 = 6

Рёбра для удаления

k = 16 − 6 = 10

Ответ

k = 10
6.Теория графов

Ответ: ребро BD

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. CE (4)
2. DE (10)
3. DF (1)
4. GD (9)
5. BD (16)
6. AB (14)

номер ребра 5

BD

Ответ

ребро BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms