Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Нижняя граница для сортировки сравнениями в худшем случае равна:

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Принадлежит ли 22n классу O(2ⁿ)?

  1. AНет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
  2. BНет, потому что 22n растёт медленнее 2ⁿ
  3. CДа, потому что обе функции экспоненциальны
  4. DДа, потому что постоянные множители в показателе в O большом всегда игнорируются
3.Структуры данныхСредняя

Как в кольцевой очереди, хранящейся в массиве ёмкостью n, вычисляется следующая позиция после индекса i?

  1. Ai + 1
  2. B2i + 1
  3. C(i − 1) mod n
  4. D(i + 1) mod n
4.Структуры данныхСложная

Каково время работы поиска в ширину на графе с V вершинами, хранящемся в виде матрицы смежности?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V)
  4. DO(V²)
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 3 вершин степени 4, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 33 × deg 4
L =
6.Теория графовСложная
116256111015ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Ω(n log n)

Почему это ответ

Любой сортировке сравнениями в худшем случае требуется не менее log₂(n!) ≈ n log n сравнений. Сортировка подсчётом (counting sort) обходит эту границу, так как не сравнивает элементы.

Ответ

C · Ω(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Нет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно

Почему это ответ

Константа, прибавленная к показателю, даёт постоянный множитель, а константа, умножающая показатель, меняет основание и скорость роста.

Ответ

A · Нет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
3.Структуры данных

Ответ: D · (i + 1) mod n

Почему это ответ

Операция взятия по модулю переводит индекс n − 1 обратно в 0, поэтому массив используется повторно без сдвига элементов.

Ответ

D · (i + 1) mod n
4.Структуры данных

Ответ: D · O(V²)

Почему это ответ

Каждая из V вершин просматривает строку из V элементов, что даёт O(V²); со списками смежности BFS работает за O(V + E).

Ответ

D · O(V²)
5.Теория графов

Ответ: L = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 24 = 2(L + 7) − 2
L = 12

Ответ

L = 12

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 22

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 11, C: 6
C (6): B: 8, E: 12
B (8): D: 13
E (12): F: 22
D (13)
F (22)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 22

Ответ

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms