Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача о рюкзаке 0/1, решаемая динамическим программированием, требует O(nW) времени. Почему это называют псевдополиномиальным временем?

  1. AПотому что n всегда мало
  2. BW — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
  3. CПотому что он работает только при W = 0
  4. DПотому что алгоритм рандомизированный, и время его работы меняется для каждого входа
3.Структуры данныхСредняя

Как работает extract-min в двоичной min-куче?

  1. AИщут новый минимум среди всех листьев
  2. BУдаляют последний элемент массива
  3. CУдаляют корень и сдвигают все элементы на одну позицию влево
  4. DПоследний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
4.Структуры данныхСложная

Для чего используется структура union-find в алгоритме Краскала построения минимального остовного дерева?

  1. AДля проверки, соединены ли уже два конца ребра
  2. BДля сортировки рёбер по весу
  3. CДля выбора начальной вершины
  4. DДля хранения текущего расстояния каждой вершины от источника во время обхода
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует замкнутых маршрутов длины 2, начинающихся и заканчивающихся в F? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n)

Почему это ответ

По основной теореме nlog₂ 2 = n доминирует над постоянной работой, поэтому T(n) = Θ(n), как при поиске максимума делением пополам.

Ответ

A · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W

Почему это ответ

Время работы полиномиально относительно значения W, но экспоненциально относительно его длины (log W битов); задача о рюкзаке 0/1 является NP-полной.

Ответ

B · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
3.Структуры данных

Ответ: D · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)

Почему это ответ

Последний элемент заполняет «дыру» в корне и меняется местами с меньшим потомком, пока не выполнится свойство кучи; это занимает O(log n).

Ответ

D · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
4.Структуры данных

Ответ: A · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра

Почему это ответ

Find показывает, лежат ли оба конца в одной компоненте; если нет, ребро добавляется, а union объединяет компоненты.

Ответ

A · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Нечётные вершины

B, C, D, E → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: N = 1

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Общие соседи

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 1

Ответ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms