Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Сколько уровней у рекурсии сортировки слиянием для массива из n элементов?

  1. AОколо √n
  2. BОколо log₂ n
  3. CОколо n
  4. DОколо n / 2
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Что последовало бы, если бы кто-то нашёл полиномиальный алгоритм для одной NP-полной задачи?

  1. AПроблема остановки стала бы разрешимой
  2. BВсе алгоритмы с экспоненциальным временем сразу стали бы работать за линейное время
  3. CКаждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP
  4. DТолько эта одна задача перешла бы в P
3.Структуры данныхСредняя

Какой абстрактный тип данных использует алгоритм Дейкстры для выбора следующей обрабатываемой вершины?

  1. AСтек
  2. BМножество без упорядочения
  3. CОчередь с приоритетом по минимуму
  4. DОчередь FIFO
4.Структуры данныхСложная

Какая пара обходов всегда однозначно определяет двоичное дерево с различными ключами?

  1. AОдин только обход по уровням
  2. BПрямой и обратный (preorder и postorder)
  3. CОдин только прямой
  4. DПрямой и симметричный (preorder и inorder)
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
22111211411112ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Около log₂ n

Почему это ответ

Деление пополам от n до 1 занимает около log₂ n уровней, и на каждом уровне выполняется O(n) работы по слиянию, что даёт O(n log n).

Ответ

B · Около log₂ n
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Каждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP

Почему это ответ

Поскольку весь класс NP сводится к любой NP-полной задаче за полиномиальное время, быстрый алгоритм для одной даёт быстрый алгоритм для всех.

Ответ

C · Каждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP
3.Структуры данных

Ответ: C · Очередь с приоритетом по минимуму

Почему это ответ

Очередь с приоритетом по минимуму, обычно двоичная куча, эффективно возвращает непосещённую вершину с наименьшим расстоянием.

Ответ

C · Очередь с приоритетом по минимуму
4.Структуры данных

Ответ: D · Прямой и симметричный (preorder и inorder)

Почему это ответ

Прямой обход даёт корень, а его позиция в симметричной последовательности разделяет левое и правое поддеревья; прямой обход вместе с обратным неоднозначен, когда у узла один потомок.

Ответ

D · Прямой и симметричный (preorder и inorder)
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Нечётные вершины

B, C, E, G → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 6

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 2, C: 2
B (2): G: 13
C (2): E: 3
E (3): D: 5, F: 17, G: 5
D (5): F: 6
G (5)
F (6)

Кратчайший путь

A → C → E → D → F
d(F) = 6

Ответ

d(F) = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms