Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Умножение Карацубы удовлетворяет T(n) = 3T(n/2) + O(n). Каково решение?

  1. AΘ(nlog₂ 3), примерно n1,585
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n3)
3.Структуры данныхСредняя

Почему двоичную кучу можно хранить в массиве без каких-либо указателей?

  1. AМассивы автоматически хранят ключи в отсортированном порядке, поэтому указатели не нужны
  2. BЭто полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов
  3. CВсе ключи в куче равны
  4. DВ кучах никогда не бывает больше 100 элементов
4.Структуры данныхСложная

В чём главное преимущество списка с пропусками (skip list) перед отсортированным связным списком?

  1. AОн не использует дополнительной памяти
  2. BГарантированный поиск за O(1), потому что каждый узел хранит указатель на каждый другой узел
  3. CОн хранит ключи без упорядочения
  4. DОжидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 20 вершин и 24 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 20|E| = 24
k =
6.Теория графовСложная
16171141257192013ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

Есть n уровней с постоянной работой на каждом, как при рекурсивном суммировании массива.

Ответ

D · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Θ(nlog₂ 3), примерно n1,585

Почему это ответ

Поскольку log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, по основной теореме доминируют листья, и это лучше школьного метода O(n²).

Ответ

A · Θ(nlog₂ 3), примерно n1,585
3.Структуры данных

Ответ: B · Это полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов

Почему это ответ

Полнота означает отсутствие пропусков, поэтому потомки индекса i всегда находятся в 2i + 1 и 2i + 2.

Ответ

B · Это полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов
4.Структуры данных

Ответ: D · Ожидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд

Почему это ответ

Случайные уровни позволяют поиску пропускать много узлов, что даёт ожидаемую сложность O(log n) для поиска, вставки и удаления.

Ответ

D · Ожидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд
5.Теория графов

Ответ: k = 5

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

20 − 1 = 19

Рёбра для удаления

k = 24 − 19 = 5

Ответ

k = 5
6.Теория графов

Ответ: W = 54

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BC (1): берём
DE (5): берём
DF (7): берём
CE (12): берём
GE (13): берём
BD (14): пропускаем, замыкает цикл
AB (16): берём

Суммарный вес

W = 1 + 5 + 7 + 12 + 13 + 16 = 54

Ответ

W = 54

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms