Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Как алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево?

  1. AОн выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
  2. BОн сортирует все рёбра по весу и добавляет каждое, если оно не образует цикл в лесу
  3. CОн удаляет самое дорогое ребро, пока не исчезнут циклы
  4. DОн запускает поиск в ширину и сохраняет дерево BFS
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какой приём обеспечивает ожидаемое время работы O(n log n) для быстрой сортировки на любых входных данных?

  1. AСортировка входных данных перед запуском быстрой сортировки
  2. BВыбор всегда первого элемента
  3. CВыбор опорного элемента случайно с равномерным распределением
  4. DПрименение рекурсии только к левой части
3.Структуры данныхСредняя

В двоичной min-куче, хранящейся в массиве (индексация с 0), потомки узла с индексом i находятся на позициях:

  1. A2i и 2i + 1
  2. B2i + 1 и 2i + 2
  3. Ci + 1 и i + 2
  4. Di/2 и i/2 + 1
4.Структуры данныхСложная

Временная сложность операции decrease-key в двоичной куче (при известной позиции элемента) составляет:

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 9 вершин и 15 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 9|E| = 15
k =
6.Теория графовСложная
17201456154319ABCDEFG

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины B. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 4.

начало: Bk = 4
  1. 1ребро AC
  2. 2ребро BC
  3. 3ребро CE
  4. 4ребро DE
  5. 5ребро DF
  6. 6ребро GB
  7. 7ребро GC
  8. 8ребро GD
  9. 9ребро GE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева

Почему это ответ

Алгоритм Прима с очередью с приоритетом пересекающих рёбер работает за O(E log V) при использовании двоичной кучи.

Ответ

A · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Выбор опорного элемента случайно с равномерным распределением

Почему это ответ

При случайном опорном элементе ожидаемое время работы составляет O(n log n) для любых входных данных; плохие случаи по-прежнему существуют, но крайне маловероятны.

Ответ

C · Выбор опорного элемента случайно с равномерным распределением
3.Структуры данных

Ответ: B · 2i + 1 и 2i + 2

Почему это ответ

В массивах с индексацией от 0 левый потомок находится в 2i + 1, правый — в 2i + 2, а родитель — в ⌊(i − 1)/2⌋.

Ответ

B · 2i + 1 и 2i + 2
4.Структуры данных

Ответ: D · O(log n)

Почему это ответ

После уменьшения ключа элемент поднимается не более чем на высоту кучи. Фибоначчиевы кучи достигают амортизированного decrease-key за O(1).

Ответ

D · O(log n)
5.Теория графов

Ответ: k = 7

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

9 − 1 = 8

Рёбра для удаления

k = 15 − 8 = 7

Ответ

k = 7
6.Теория графов

Ответ: ребро DE

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. GB (15)
2. GD (3)
3. GC (4)
4. DE (5)
5. DF (6)
6. AC (17)

номер ребра 4

DE

Ответ

ребро DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms