Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что означает, что задача обладает оптимальной подструктурой?

  1. AУ задачи ровно одно оптимальное решение, общее для всех подзадач
  2. BЗадачу можно решить за постоянное время
  3. CОптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач
  4. DВсе подзадачи одного размера
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Алгоритм динамического программирования Хелда–Карпа точно решает задачу коммивояжёра. Каково время его работы для n городов?

  1. AO(2n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n!)
  4. DO(n² 2ⁿ)
3.Структуры данныхСредняя

Какое условие балансировки поддерживает АВЛ-дерево в каждом узле?

  1. AОба поддерева каждого узла содержат ровно одинаковое число узлов
  2. BКаждый узел окрашен в красный или чёрный цвет
  3. CВсе листья находятся ровно на одной глубине
  4. DВысоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1
4.Структуры данныхСложная

Ключи 5, 3, 8, 1 вставляются в таком порядке в пустую двоичную min-кучу на массиве. Каков итоговый массив?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K6? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K6
H =
6.Теория графовСложная
6103120216ABCDE

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 4; пропущенные рёбра не считаются.

k = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Оптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач

Почему это ответ

Оптимальная подструктура необходима, чтобы и жадные алгоритмы, и динамическое программирование давали правильные ответы.

Ответ

C · Оптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n² 2ⁿ)

Почему это ответ

Состояний около n 2ⁿ, и каждое вычисляется за O(n); это экспоненциально, но намного быстрее перебора всех (n − 1)! обходов.

Ответ

D · O(n² 2ⁿ)
3.Структуры данных

Ответ: D · Высоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1

Почему это ответ

Показатель сбалансированности (высота левого − высота правого) должен быть −1, 0 или 1; повороты восстанавливают его после вставок и удалений.

Ответ

D · Высоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1
4.Структуры данных

Ответ: B · [1, 3, 8, 5]

Почему это ответ

После 5, 3, 8 массив равен [3, 5, 8]; 1 попадает в индекс 3, меняется местами с родителем 5, а затем с 3, что даёт [1, 3, 8, 5].

Ответ

B · [1, 3, 8, 5]
5.Теория графов

Ответ: H = 60

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Ответ

H = 60
6.Теория графов

Ответ: ребро AB

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. BD (1)
2. DE (2)
3. BC (3)
4. AB (6)

номер ребра 4

AB

Ответ

ребро AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms