Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Сколько памяти стека использует простая рекурсивная функция факториала fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Что нужно сделать, чтобы показать, что новая задача X NP-трудна?

  1. AПоказать, что X можно проверить за полиномиальное время
  2. BСвести X к известной NP-трудной задаче за полиномиальное время
  3. CПоказать, что у X нет полиномиального алгоритма для малых входов
  4. DСвести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время
3.Структуры данныхСредняя

Какова стоимость вставки элемента в середину массива из n элементов?

  1. AO(1), потому что индекс известен
  2. BO(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть
  3. CO(n²), потому что каждый элемент сдвигается n раз
  4. DO(log n) из-за двоичного поиска
4.Структуры данныхСложная

Удаление узла с двумя потомками из двоичного дерева поиска обычно выполняют так:

  1. AУдаляют всё поддерево
  2. BПерестраивают поддерево под ним с нуля и заново вставляют каждый содержавшийся в нём ключ
  3. CМеняют его местами с корнем
  4. DЗаменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 14 вершин и 18 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 14|E| = 18
k =
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует маршрутов длины 2 из E в A? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n)

Почему это ответ

Глубина рекурсии — n вызовов до первого возврата, и каждому вызову нужен кадр стека, поэтому используется O(n) памяти.

Ответ

B · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Свести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время

Почему это ответ

Если известную трудную задачу можно эффективно преобразовать в X, то быстрый алгоритм для X решал бы и известную задачу.

Ответ

D · Свести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: B · O(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть

Почему это ответ

Все элементы после места вставки сдвигаются на одну позицию вправо, что занимает время, пропорциональное n.

Ответ

B · O(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть
4.Структуры данных

Ответ: D · Заменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел

Почему это ответ

У in-order преемника не более одного потомка, поэтому его легко удалить, скопировав его ключ в удаляемый узел.

Ответ

D · Заменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел
5.Теория графов

Ответ: k = 5

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

14 − 1 = 13

Рёбра для удаления

k = 18 − 13 = 5

Ответ

k = 5
6.Теория графов

Ответ: N = 1

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 0 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Общие соседи

(M²)EA = 0·0 + 0·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·0 = 1

Ответ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms