Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Решением рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + O(n) является:

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое определение класса P верно?

  1. AЗадачи, решения которых можно проверить, но никогда не найти за полиномиальное время
  2. BЗадачи, которые можно решать параллельно
  3. CЗадачи, требующие экспоненциального времени на любом компьютере
  4. DЗадачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время
3.Структуры данныхСредняя

Где в двоичной куче, хранящейся в массиве с индексацией от 0, находится родитель узла с индексом i?

  1. AВ индексе 2i + 1
  2. BВ индексе i − 1
  3. CВ индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DВ индексе ⌊i / 2⌋ + 1
4.Структуры данныхСложная

Алгоритм Кана для топологической сортировки многократно удаляет вершины с полустепенью захода 0. Какая структура хранит эти вершины?

  1. AMax-куча, упорядоченная по полустепени исхода
  2. BОчередь (или любая коллекция) вершин с полустепенью захода 0
  3. CСтек всех посещённых рёбер
  4. DМатрица смежности, фиксирующая, какие вершины уже удалены
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
114841191423ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n log n)

Почему это ответ

По основной теореме о рекуррентных соотношениях (master theorem) при a = 2, b = 2, f(n) = n получаем T(n) = Θ(n log n).

Ответ

D · O(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Задачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время

Почему это ответ

P содержит задачи распознавания с детерминированным полиномиальным алгоритмом, например проверку связности графа.

Ответ

D · Задачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: C · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋

Почему это ответ

Потомки i находятся в 2i + 1 и 2i + 2, поэтому родитель i — в ⌊(i − 1) / 2⌋; при индексации с 1 это ⌊i / 2⌋.

Ответ

C · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структуры данных

Ответ: B · Очередь (или любая коллекция) вершин с полустепенью захода 0

Почему это ответ

Готовые вершины хранятся в очереди; удаление одной уменьшает полустепени захода её соседей, и те, у которых она стала 0, добавляются, что даёт время O(V + E).

Ответ

B · Очередь (или любая коллекция) вершин с полустепенью захода 0
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 23

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 1, C: 14
B (1): C: 9, D: 5, G: 15
D (5): E: 16
C (9): G: 11
G (11): E: 14
E (14): F: 23
F (23)

Кратчайший путь

A → B → C → G → E → F
d(F) = 23

Ответ

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms