Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Жадный алгоритм:

  1. AИспользует только рекурсию
  2. BПеребирает все возможные решения
  3. CВсегда даёт оптимальное решение
  4. DНа каждом шаге делает локально наилучший выбор
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение об o-нотации (o малое) верно?

  1. A2n = o(n), потому что 2n растёт медленно
  2. Bn = o(n²), но n не является o(n)
  3. Cn = o(n), поскольку каждая функция есть o малое от самой себя
  4. Dn² = o(n)
3.Структуры данныхСредняя

Какую структуру данных использует выполняющаяся программа для отслеживания активных вызовов функций и их локальных переменных?

  1. AДвоичное дерево поиска кадров
  2. BХеш-таблицу функций
  3. CСтек вызовов
  4. DОчередь памяти кучи
4.Структуры данныхСложная

Какое утверждение о пирамидальной сортировке (heapsort) верно?

  1. AОна сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой
  2. BОна устойчива и требует O(n) дополнительной памяти
  3. CОна работает за O(n) на любых входных данных
  4. DЕй нужно двоичное дерево поиска как дополнительное хранилище, поэтому она использует O(n) дополнительной памяти
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
ABCDE

Сколько существует замкнутых маршрутов длины 3, начинающихся и заканчивающихся в D? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 3
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · На каждом шаге делает локально наилучший выбор

Почему это ответ

Жадные алгоритмы быстры и для некоторых задач оптимальны (например, алгоритм Дейкстры, кодирование Хаффмана), но не в общем случае (например, задача о размене монет для некоторых систем монет).

Ответ

D · На каждом шаге делает локально наилучший выбор
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · n = o(n²), но n не является o(n)

Почему это ответ

f = o(g) означает, что f(n) / g(n) стремится к 0; n / n² стремится к 0, а n / n = 1 — нет.

Ответ

B · n = o(n²), но n не является o(n)
3.Структуры данных

Ответ: C · Стек вызовов

Почему это ответ

Каждый вызов помещает в стек кадр (push), а каждый возврат его извлекает (pop), поэтому самый последний вызов завершается первым.

Ответ

C · Стек вызовов
4.Структуры данных

Ответ: A · Она сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой

Почему это ответ

Heapsort строит max-кучу и n раз извлекает максимум в том же массиве; обмены на большие расстояния могут менять порядок равных ключей.

Ответ

A · Она сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Нечётные вершины

B, D → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: N = 2

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Ещё один шаг

(M³)DD = 0·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms