Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какой алгоритм сортировки является устойчивым?

  1. AСортировка выбором (типичная версия)
  2. BПирамидальная сортировка
  3. CБыстрая сортировка (типичная версия на месте)
  4. DСортировка слиянием
2.Алгоритмы и сложностьСложная

В чём разница между неразрешимой и трудноразрешимой задачей?

  1. AТрудноразрешимые задачи нельзя решить никаким алгоритмом, а неразрешимым нужно лишь экспоненциальное время
  2. BУ неразрешимой задачи нет алгоритма для всех входов; у трудноразрешимой он есть, но слишком медленный
  3. CНеразрешимые задачи лежат в NP, а трудноразрешимые — в P
  4. DОба термина означают, что у задачи вообще нет алгоритма
3.Структуры данныхСредняя

Сколько памяти занимает матрица смежности графа с V вершинами?

  1. AO(log V)
  2. BO(E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V²)
4.Структуры данныхСложная

Почему B-деревья используются в базах данных и файловых системах?

  1. AВысокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска
  2. BОни занимают меньше памяти, чем любой массив, поэтому весь индекс всегда помещается в оперативной памяти
  3. CОни хранят неотсортированные данные
  4. DИм не нужна перебалансировка
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 3 вершин степени 4, 3 вершин степени 5, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 5
L =
6.Теория графовСложная
86107912171111916ABCDEFG

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 6; пропущенные рёбра не считаются.

k = 6
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро DF
  8. 8ребро GB
  9. 9ребро GC
  10. 10ребро GD
  11. 11ребро GE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Сортировка слиянием

Почему это ответ

Сортировка слиянием устойчива, если при равных ключах во время слияния сначала берётся элемент из левой половины. Быстрая сортировка на месте, пирамидальная сортировка и сортировка выбором обычно неустойчивы.

Ответ

D · Сортировка слиянием
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · У неразрешимой задачи нет алгоритма для всех входов; у трудноразрешимой он есть, но слишком медленный

Почему это ответ

У проблемы остановки вообще нет алгоритма; NP-трудную задачу, например TSP, можно решить перебором, только не за известное полиномиальное время.

Ответ

B · У неразрешимой задачи нет алгоритма для всех входов; у трудноразрешимой он есть, но слишком медленный
3.Структуры данных

Ответ: D · O(V²)

Почему это ответ

Матрица смежности хранит V × V элементов, что эффективно для плотных графов; списки смежности занимают O(V + E) и лучше подходят для разреженных графов.

Ответ

D · O(V²)
4.Структуры данных

Ответ: A · Высокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска

Почему это ответ

B-деревья хранят много ключей в узле, поэтому высота мала и на один поиск нужно мало чтений блоков; B+ деревья также связывают листья для сканирования диапазонов.

Ответ

A · Высокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска
5.Теория графов

Ответ: L = 21

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 39 = 2(L + 10) − 2
L = 21

Ответ

L = 21

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: ребро DF

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. GB (1)
2. AC (6)
3. BD (7)
4. AB (8)
5. CE (9)
6. DF (17)

номер ребра 6

DF

Ответ

ребро DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms