В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Теория графов
Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij
Метод
Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).
2Тренировочные задачи
1.Алгоритмы и сложностьСредняя
Почему основание логарифма в O большом обычно не указывают, как в O(log n)?
AВсе логарифмы в информатике имеют основание 10, так что оно подразумевается
BЛогарифмы всегда округляются до целых
CОснование имеет значение только при малых n
DЛогарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложностьСложная
Алгоритм Штрассена умножает матрицы, используя 7 вместо 8 рекурсивных умножений блоков половинного размера. Каково время его работы?
AΘ(n³)
BΘ(n² log n)
CΘ(n2)
DΘ(nlog₂ 7), примерно n2,81
3.Структуры данныхСредняя
Где в двоичной куче, хранящейся в массиве с индексацией от 0, находится родитель узла с индексом i?
AВ индексе ⌊i / 2⌋ + 1
BВ индексе i − 1
CВ индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
DВ индексе 2i + 1
4.Структуры данныхСложная
Вставка ключа в АВЛ-дерево делает левое поддерево узла слишком высоким, причём новый ключ попал в левое поддерево его левого потомка (случай левый–левый). Какое исправление применяется?
AЛевый поворот в потомке, затем правый поворот в узле
BОдиночный правый поворот в несбалансированном узле
CПерекрашивание узла и его потомка
DОдиночный левый поворот в несбалансированном узле
5.Теория графовСредняя
У дерева 3 вершин степени 4, 3 вершин степени 5, 4 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?
3 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
Сколько существует замкнутых маршрутов длины 2, начинающихся и заканчивающихся в B? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.
M = матрица смежностиL = 2
N =
3Растворы
1.Алгоритмы и сложность
Ответ: D · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
Почему это ответ
Смена основания умножает логарифм на константу, а O большое игнорирует постоянные множители.
Ответ
D · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложность
Ответ: D · Θ(nlog₂ 7), примерно n2,81
Почему это ответ
При a = 7 и b = 2 член nlog₂ 7 доминирует над работой сложения O(n²), что даёт примерно n2,81.
Ответ
D · Θ(nlog₂ 7), примерно n2,81
3.Структуры данных
Ответ: C · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
Почему это ответ
Потомки i находятся в 2i + 1 и 2i + 2, поэтому родитель i — в ⌊(i − 1) / 2⌋; при индексации с 1 это ⌊i / 2⌋.
Ответ
C · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структуры данных
Ответ: B · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле
Почему это ответ
В случае левый–левый один правый поворот поднимает левого потомка вверх и восстанавливает баланс; случаи зигзага требуют двойного поворота.
Ответ
B · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле
5.Теория графов
Ответ: L = 17
Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.
Лемма о рукопожатиях для дерева
L + 35 = 2(L + 10) − 2
L = 17
Ответ
L = 17
Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.
6.Теория графов
Ответ: N = 4
Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.