Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Жадный алгоритм:

  1. AПеребирает все возможные решения
  2. BИспользует только рекурсию
  3. CНа каждом шаге делает локально наилучший выбор
  4. DВсегда даёт оптимальное решение
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Сортировка вставками работает за O(n) на отсортированном входе. Противоречит ли это нижней оценке Ω(n log n) для сортировки сравнениями?

  1. AНет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
  2. BДа, но только для массивов короче 100
  3. CНет, потому что сортировка вставками не является сортировкой сравнениями
  4. DДа, значит, нижняя оценка неверна
3.Структуры данныхСредняя

Почему двоичную кучу можно хранить в массиве без каких-либо указателей?

  1. AВсе ключи в куче равны
  2. BВ кучах никогда не бывает больше 100 элементов
  3. CМассивы автоматически хранят ключи в отсортированном порядке, поэтому указатели не нужны
  4. DЭто полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов
4.Структуры данныхСложная

Какую гарантию дают правила красно-чёрного дерева относительно высоты дерева с n ключами?

  1. AВысота не превышает n / 2
  2. BВысота не превышает 2 log2(n + 1)
  3. CВысота равна ровно log2 n
  4. DВысота не превышает log2 n + 1
5.Теория графовСредняя

У дерева 2 вершин степени 3, 2 вершин степени 4, 4 вершин степени 5, 2 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

2 × deg 32 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
ABCDE

Сколько существует замкнутых маршрутов длины 2, начинающихся и заканчивающихся в E? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · На каждом шаге делает локально наилучший выбор

Почему это ответ

Жадные алгоритмы быстры и для некоторых задач оптимальны (например, алгоритм Дейкстры, кодирование Хаффмана), но не в общем случае (например, задача о размене монет для некоторых систем монет).

Ответ

C · На каждом шаге делает локально наилучший выбор
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу

Почему это ответ

Оценка утверждает, что любой сортировке сравнениями нужно около n log n сравнений на некотором входе размера n; особые входы могут обрабатываться гораздо быстрее.

Ответ

A · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
3.Структуры данных

Ответ: D · Это полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов

Почему это ответ

Полнота означает отсутствие пропусков, поэтому потомки индекса i всегда находятся в 2i + 1 и 2i + 2.

Ответ

D · Это полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов
4.Структуры данных

Ответ: B · Высота не превышает 2 log2(n + 1)

Почему это ответ

На каждом пути одинаковое число чёрных узлов, а красные узлы не могут быть соседними, поэтому самый длинный путь не более чем вдвое длиннее самого короткого, что даёт высоту O(log n).

Ответ

B · Высота не превышает 2 log2(n + 1)
5.Теория графов

Ответ: L = 20

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 38 = 2(L + 10) − 2
L = 20

Ответ

L = 20

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: N = 2

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Общие соседи

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms