Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова амортизированная временная сложность добавления элемента в конец динамического массива, который удваивает свою ёмкость при заполнении?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каково время работы алгоритма Дейкстры с двоичной кучей на графе с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V³)
3.Структуры данныхСредняя

Какой метод разрешения коллизий хранит конфликтующие ключи в списке в той же корзине?

  1. AКвадратичное пробирование
  2. BЛинейное пробирование
  3. CДвойное хеширование
  4. DМетод цепочек (separate chaining)
4.Структуры данныхСложная

Временная сложность операции decrease-key в двоичной куче (при известной позиции элемента) составляет:

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
191541797314ABCDEF

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины F. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 4.

начало: Fk = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(1)

Почему это ответ

Копирование всех элементов происходит только на степенях двойки; если распределить эти затраты на все добавления, средняя стоимость одного добавления постоянна.

Ответ

A · O(1)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O((V + E) log V)

Почему это ответ

Выполняется V операций извлечения минимума и до E операций уменьшения ключа, каждая за O(log V); фибоначчиева куча улучшает это до O(E + V log V).

Ответ

C · O((V + E) log V)
3.Структуры данных

Ответ: D · Метод цепочек (separate chaining)

Почему это ответ

Метод цепочек хранит для каждой корзины связный список (или другую структуру); открытая адресация ищет другую свободную ячейку в самой таблице.

Ответ

D · Метод цепочек (separate chaining)
4.Структуры данных

Ответ: B · O(log n)

Почему это ответ

После уменьшения ключа элемент поднимается не более чем на высоту кучи. Фибоначчиевы кучи достигают амортизированного decrease-key за O(1).

Ответ

B · O(log n)
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: ребро BC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. EF (3)
2. DF (7)
3. CE (9)
4. BC (4)
5. AC (15)

номер ребра 4

BC

Ответ

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms