Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какой алгоритм сортировки является устойчивым?

  1. AПирамидальная сортировка
  2. BСортировка слиянием
  3. CБыстрая сортировка (типичная версия на месте)
  4. DСортировка выбором (типичная версия)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какова временная сложность построения двоичной кучи из n неотсортированных элементов восходящим методом (bottom-up)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
3.Структуры данныхСредняя

Зачем нужен сторожевой (фиктивный, sentinel) узел в связном списке?

  1. AЧтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте
  2. BЧтобы список не мог вырасти сверх фиксированного максимального числа узлов
  3. CЧтобы хранить число элементов
  4. DЧтобы список был отсортирован
4.Структуры данныхСложная

Какая пара обходов всегда однозначно определяет двоичное дерево с различными ключами?

  1. AОдин только прямой
  2. BОдин только обход по уровням
  3. CПрямой и обратный (preorder и postorder)
  4. DПрямой и симметричный (preorder и inorder)
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K4? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K4
H =
6.Теория графовСложная
17201627181343ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Сортировка слиянием

Почему это ответ

Сортировка слиянием устойчива, если при равных ключах во время слияния сначала берётся элемент из левой половины. Быстрая сортировка на месте, пирамидальная сортировка и сортировка выбором обычно неустойчивы.

Ответ

B · Сортировка слиянием
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

Сумма затрат на просеивание вниз (sift-down) по всем уровням даёт сходящийся ряд, поэтому построение кучи (heapify) выполняется за линейное время.

Ответ

D · O(n)
3.Структуры данных

Ответ: A · Чтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте

Почему это ответ

Со сторожевым узлом у каждого реального узла есть предшественник, поэтому вставка или удаление в голове не требуют особой обработки.

Ответ

A · Чтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте
4.Структуры данных

Ответ: D · Прямой и симметричный (preorder и inorder)

Почему это ответ

Прямой обход даёт корень, а его позиция в симметричной последовательности разделяет левое и правое поддеревья; прямой обход вместе с обратным неоднозначен, когда у узла один потомок.

Ответ

D · Прямой и симметричный (preorder и inorder)
5.Теория графов

Ответ: H = 3

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Ответ

H = 3
6.Теория графов

Ответ: W = 33

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BD (2): берём
BE (3): берём
EF (4): берём
CE (7): берём
DF (13): пропускаем, замыкает цикл
BC (16): пропускаем, замыкает цикл
AB (17): берём

Суммарный вес

W = 2 + 3 + 4 + 7 + 17 = 33

Ответ

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms