Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность алгоритма Беллмана–Форда на графе с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(E log V)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какова амортизированная стоимость инкремента двоичного счётчика, если один инкремент может изменить много битов?

  1. AO(n) на инкремент
  2. BO(n log n) на инкремент
  3. CO(log n) на инкремент
  4. DO(1) на инкремент
3.Структуры данныхСредняя

Как работает extract-min в двоичной min-куче?

  1. AУдаляют корень и сдвигают все элементы на одну позицию влево
  2. BПоследний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
  3. CИщут новый минимум среди всех листьев
  4. DУдаляют последний элемент массива
4.Структуры данныхСложная

Почему базы данных часто используют для индексов B+ деревья, а не обычные B-деревья?

  1. AВсе записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным
  2. BB+ деревья не нужно балансировать
  3. CB+ деревья используют двоичные внутренние узлы, что сокращает число чтений с диска
  4. DB+ деревья хранят данные только в корне
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 9
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
13279813659ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 4; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(V × E)

Почему это ответ

Каждый из V − 1 раундов релаксирует все E рёбер, что даёт O(VE); зато он работает с отрицательными весами рёбер.

Ответ

B · O(V × E)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(1) на инкремент

Почему это ответ

За n инкрементов бит i меняется около n / 2ⁱ раз, поэтому всего меньше 2n изменений, в среднем O(1) на каждый.

Ответ

D · O(1) на инкремент
3.Структуры данных

Ответ: B · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)

Почему это ответ

Последний элемент заполняет «дыру» в корне и меняется местами с меньшим потомком, пока не выполнится свойство кучи; это занимает O(log n).

Ответ

B · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
4.Структуры данных

Ответ: A · Все записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным

Почему это ответ

В B+ дереве внутренние узлы только направляют поиск, а листья связаны в порядке ключей, поэтому запрос по диапазону находит первый ключ и затем идёт по листьям.

Ответ

A · Все записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Нечётные вершины

C, D → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: E

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 13, C: 2
2. C (2): B: 9, E: 10
3. B (9): D: 18
4. E (10): F: 15
5. F (15)
6. D (18)

шаг 4

E

Ответ

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms