Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какое утверждение о рекурсивной функции без достижимого базового случая верно?

  1. AОна автоматически возвращает 0
  2. BОна работает за время O(1)
  3. CКомпилятор всегда превращает её в цикл, который безопасно завершается
  4. DОна продолжает вызывать себя, пока не переполнится стек вызовов
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое определение класса NP верно?

  1. AЗадачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата
  2. BЗадачи, которые не являются полиномиальными
  3. CЗадачи, которые нельзя решить за полиномиальное время
  4. DЗадачи, которые не может решить ни один алгоритм
3.Структуры данныхСредняя

У узла двоичного дерева поиска есть правое поддерево. Где находится его in-order преемник?

  1. AВсегда его родитель
  2. BВсегда его правый потомок
  3. CСамый правый узел его левого поддерева
  4. DСамый левый узел его правого поддерева
4.Структуры данныхСложная

Какие операции поддерживает за O(log n) дерево Фенвика (binary indexed tree) над массивом из n чисел?

  1. AПоиск медианы за O(1)
  2. BЗапросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента
  3. CВставку элементов в любую позицию
  4. DСортировку массива и двоичный поиск
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 19 вершин и 30 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 19|E| = 30
k =
6.Теория графовСложная
123141487610ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Она продолжает вызывать себя, пока не переполнится стек вызовов

Почему это ответ

Без базового случая рекурсия никогда не останавливается; на практике память для кадров стека заканчивается, и программа аварийно завершается.

Ответ

D · Она продолжает вызывать себя, пока не переполнится стек вызовов
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Задачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата

Почему это ответ

Для задачи из NP предложенное решение (сертификат) можно быстро проверить, например убедиться, что данное присваивание выполняет булеву формулу.

Ответ

A · Задачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата
3.Структуры данных

Ответ: D · Самый левый узел его правого поддерева

Почему это ответ

Все ближайшие большие ключи находятся в правом поддереве узла, а наименьший из них — самый левый узел там.

Ответ

D · Самый левый узел его правого поддерева
4.Структуры данных

Ответ: B · Запросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента

Почему это ответ

Дерево Фенвика хранит частичные суммы по диапазонам, определяемым младшими битами каждого индекса, поэтому и префиксные суммы, и точечные обновления занимают O(log n).

Ответ

B · Запросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента
5.Теория графов

Ответ: k = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

19 − 1 = 18

Рёбра для удаления

k = 30 − 18 = 12

Ответ

k = 12
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 24

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 12, C: 3
C (3): E: 11
E (11): D: 18
B (12)
D (18): F: 24
F (24)

Кратчайший путь

A → C → E → D → F
d(F) = 24

Ответ

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms