Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему основание логарифма в O большом обычно не указывают, как в O(log n)?

  1. AЛогарифмы всегда округляются до целых
  2. BВсе логарифмы в информатике имеют основание 10, так что оно подразумевается
  3. CЛогарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
  4. DОснование имеет значение только при малых n
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Что установила теорема Кука–Левина?

  1. AПроблема остановки неразрешима
  2. BP не равно NP
  3. CЛюбую задачу из NP можно решить за экспоненциальное время
  4. DЗадача выполнимости булевых формул (SAT) NP-полна
3.Структуры данныхСредняя

Сколько памяти занимают списки смежности для графа с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V × E)
  4. DO(E²)
4.Структуры данныхСложная

Какому свойству должно удовлетворять красно-чёрное дерево?

  1. AУ каждого красного узла должны быть красные потомки, поэтому красные узлы всегда образуют непрерывные цепочки до листьев
  2. BКорень должен быть красным
  3. CКаждый узел должен быть красным
  4. DКаждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
20191273614813ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем

Почему это ответ

Смена основания умножает логарифм на константу, а O большое игнорирует постоянные множители.

Ответ

C · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Задача выполнимости булевых формул (SAT) NP-полна

Почему это ответ

Кук и Левин независимо показали, что любая задача из NP сводится к SAT за полиномиальное время, поэтому SAT стала первой известной NP-полной задачей.

Ответ

D · Задача выполнимости булевых формул (SAT) NP-полна
3.Структуры данных

Ответ: A · O(V + E)

Почему это ответ

У каждой вершины есть список, а каждое ребро встречается один раз (ориентированный граф) или дважды (неориентированный), что даёт O(V + E).

Ответ

A · O(V + E)
4.Структуры данных

Ответ: D · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов

Почему это ответ

Правила красно-чёрного дерева: узлы красные или чёрные, корень чёрный, потомки красных узлов чёрные, а все пути имеют одинаковую чёрную высоту, что удерживает высоту ≤ 2 log₂(n + 1).

Ответ

D · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Нечётные вершины

C, E → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: W = 56

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

DE (3): берём
DF (6): берём
CE (7): берём
GC (8): берём
BD (12): берём
GE (13): пропускаем, замыкает цикл
EF (14): пропускаем, замыкает цикл
BC (19): пропускаем, замыкает цикл
AC (20): берём

Суммарный вес

W = 3 + 6 + 7 + 8 + 12 + 20 = 56

Ответ

W = 56

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms