Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Функция выполняет один цикл из n итераций, а затем, отдельно, ещё один цикл из n итераций. Какова её временна́я сложность?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача является NP-полной, если она:

  1. AЛежит вне NP, но сложнее всех задач NP, как проблема остановки
  2. BПринадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время
  3. CРешается за полиномиальное время
  4. DНеразрешима
3.Структуры данныхСредняя

У узла двоичного дерева поиска есть правое поддерево. Где находится его in-order преемник?

  1. AВсегда его родитель
  2. BСамый левый узел его правого поддерева
  3. CСамый правый узел его левого поддерева
  4. DВсегда его правый потомок
4.Структуры данныхСложная

Каково время работы поиска в ширину на графе с V вершинами, хранящемся в виде матрицы смежности?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V)
  4. DO(V²)
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 3 вершин степени 4, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 33 × deg 4
L =
6.Теория графовСложная
ABCDE

Сколько существует замкнутых маршрутов длины 3, начинающихся и заканчивающихся в B? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 3
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

n + n = 2n, а постоянные множители отбрасываются, поэтому функция есть O(n).

Ответ

D · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Принадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время

Почему это ответ

NP-полные задачи — самые сложные в NP; полиномиальный алгоритм для одной из них дал бы полиномиальный алгоритм для всего класса NP.

Ответ

B · Принадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: B · Самый левый узел его правого поддерева

Почему это ответ

Все ближайшие большие ключи находятся в правом поддереве узла, а наименьший из них — самый левый узел там.

Ответ

B · Самый левый узел его правого поддерева
4.Структуры данных

Ответ: D · O(V²)

Почему это ответ

Каждая из V вершин просматривает строку из V элементов, что даёт O(V²); со списками смежности BFS работает за O(V + E).

Ответ

D · O(V²)
5.Теория графов

Ответ: L = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 24 = 2(L + 7) − 2
L = 12

Ответ

L = 12

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: N = 2

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Ещё один шаг

(M³)BB = 1·1 + 3·0 + 1·1 + 0·1 + 2·0 = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms