Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Функция выполняет один цикл из n итераций, а затем, отдельно, ещё один цикл из n итераций. Какова её временна́я сложность?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Как классифицируется задача коммивояжёра?

  1. AОна лежит в P, потому что её решает алгоритм Дейкстры, посещая каждый город один раз
  2. BОна неразрешима
  3. CВерсия распознавания NP-полна, а оптимизационная версия NP-трудна
  4. DВерсия распознавания лежит в P, а оптимизационная NP-полна
3.Структуры данныхСредняя

В двоичной min-куче, хранящейся в массиве (индексация с 0), потомки узла с индексом i находятся на позициях:

  1. A2i и 2i + 1
  2. Bi/2 и i/2 + 1
  3. C2i + 1 и 2i + 2
  4. Di + 1 и i + 2
4.Структуры данныхСложная

Ключи 5, 3, 8, 1 вставляются в таком порядке в пустую двоичную min-кучу на массиве. Каков итоговый массив?

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[1, 3, 5, 8]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[3, 1, 8, 5]
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 5, 2 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 52 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
15131119111110ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n)

Почему это ответ

n + n = 2n, а постоянные множители отбрасываются, поэтому функция есть O(n).

Ответ

A · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Версия распознавания NP-полна, а оптимизационная версия NP-трудна

Почему это ответ

«Есть ли обход длиной не более k?» — NP-полная задача; поиск кратчайшего обхода NP-труден, так как он не легче.

Ответ

C · Версия распознавания NP-полна, а оптимизационная версия NP-трудна
3.Структуры данных

Ответ: C · 2i + 1 и 2i + 2

Почему это ответ

В массивах с индексацией от 0 левый потомок находится в 2i + 1, правый — в 2i + 2, а родитель — в ⌊(i − 1)/2⌋.

Ответ

C · 2i + 1 и 2i + 2
4.Структуры данных

Ответ: C · [1, 3, 8, 5]

Почему это ответ

После 5, 3, 8 массив равен [3, 5, 8]; 1 попадает в индекс 3, меняется местами с родителем 5, а затем с 3, что даёт [1, 3, 8, 5].

Ответ

C · [1, 3, 8, 5]
5.Теория графов

Ответ: L = 11

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 19 = 2(L + 5) − 2
L = 11

Ответ

L = 11

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 25

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): C: 15
C (15): E: 16, G: 26
E (16): F: 25
F (25): D: 36
G (26): B: 27, D: 27
B (27)
D (27)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 25

Ответ

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms