Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Вы один раз сортируете массив из n элементов, а затем отвечаете на k запросов о принадлежности бинарным поиском. Какова общая стоимость?

  1. AO(nk)
  2. BO(n + k)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какой приём обеспечивает ожидаемое время работы O(n log n) для быстрой сортировки на любых входных данных?

  1. AПрименение рекурсии только к левой части
  2. BВыбор всегда первого элемента
  3. CВыбор опорного элемента случайно с равномерным распределением
  4. DСортировка входных данных перед запуском быстрой сортировки
3.Структуры данныхСредняя

Как вставляется новый элемент в двоичную кучу?

  1. AЕго вставляют в отсортированную позицию, сдвигая все бо́льшие элементы на одно место вправо
  2. BЕго помещают в корень и опускают вниз
  3. CВсю кучу перестраивают с нуля
  4. DЕго помещают в конец массива и поднимают вверх (sift up), пока он нарушает свойство кучи
4.Структуры данныхСложная

Какому свойству должно удовлетворять красно-чёрное дерево?

  1. AКорень должен быть красным
  2. BКаждый узел должен быть красным
  3. CУ каждого красного узла должны быть красные потомки, поэтому красные узлы всегда образуют непрерывные цепочки до листьев
  4. DКаждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
ABCDE

Сколько существует замкнутых маршрутов длины 2, начинающихся и заканчивающихся в A? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n log n + k log n)

Почему это ответ

Сортировка стоит O(n log n), а каждый запрос — O(log n); при больших k это выгоднее k линейных просмотров (O(nk)).

Ответ

D · O(n log n + k log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Выбор опорного элемента случайно с равномерным распределением

Почему это ответ

При случайном опорном элементе ожидаемое время работы составляет O(n log n) для любых входных данных; плохие случаи по-прежнему существуют, но крайне маловероятны.

Ответ

C · Выбор опорного элемента случайно с равномерным распределением
3.Структуры данных

Ответ: D · Его помещают в конец массива и поднимают вверх (sift up), пока он нарушает свойство кучи

Почему это ответ

Добавление в конец сохраняет полноту дерева; обмены с родителем восстанавливают порядок за O(log n) шагов.

Ответ

D · Его помещают в конец массива и поднимают вверх (sift up), пока он нарушает свойство кучи
4.Структуры данных

Ответ: D · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов

Почему это ответ

Правила красно-чёрного дерева: узлы красные или чёрные, корень чёрный, потомки красных узлов чёрные, а все пути имеют одинаковую чёрную высоту, что удерживает высоту ≤ 2 log₂(n + 1).

Ответ

D · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Нечётные вершины

C, E → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: N = 2

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Общие соседи

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms