Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какое жадное правило в задаче о выборе заявок всегда даёт максимальное число непересекающихся заявок?

  1. AВыбрать заявку, которая начинается раньше всех
  2. BСначала выбрать заявку с наименьшим числом пересечений, затем повторить с совместимыми
  3. CСначала выбрать самую короткую заявку
  4. DВыбрать заявку, которая заканчивается раньше всех, затем повторить с совместимыми
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Умножение Карацубы удовлетворяет T(n) = 3T(n/2) + O(n). Каково решение?

  1. AΘ(nlog₂ 3), примерно n1,585
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n3)
3.Структуры данныхСредняя

Как найти минимальный ключ в двоичном дереве поиска?

  1. AИдти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется
  2. BПосмотреть только на корень
  3. CОбойти все листья и сравнить их
  4. DИдти от корня по правым потомкам, пока правого потомка не окажется
4.Структуры данныхСложная

Удаление узла с двумя потомками из двоичного дерева поиска обычно выполняют так:

  1. AПерестраивают поддерево под ним с нуля и заново вставляют каждый содержавшийся в нём ключ
  2. BУдаляют всё поддерево
  3. CЗаменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел
  4. DМеняют его местами с корнем
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
6203117168ABCDE

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 4; пропущенные рёбра не считаются.

k = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Выбрать заявку, которая заканчивается раньше всех, затем повторить с совместимыми

Почему это ответ

Оптимальность выбора по самому раннему времени окончания доказывается аргументом обмена; для остальных правил есть контрпримеры.

Ответ

D · Выбрать заявку, которая заканчивается раньше всех, затем повторить с совместимыми
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Θ(nlog₂ 3), примерно n1,585

Почему это ответ

Поскольку log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, по основной теореме доминируют листья, и это лучше школьного метода O(n²).

Ответ

A · Θ(nlog₂ 3), примерно n1,585
3.Структуры данных

Ответ: A · Идти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется

Почему это ответ

У самого левого узла нет в дереве меньшего ключа, поэтому он минимальный; стоимость пропорциональна высоте.

Ответ

A · Идти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется
4.Структуры данных

Ответ: C · Заменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел

Почему это ответ

У in-order преемника не более одного потомка, поэтому его легко удалить, скопировав его ключ в удаляемый узел.

Ответ

C · Заменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Нечётные вершины

A, E → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: ребро BE

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. BD (1)
2. BC (3)
3. AB (6)
4. BE (8)

номер ребра 4

BE

Ответ

ребро BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms