Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Решением рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + O(n) является:

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n log n)
3.Структуры данныхСредняя

Какая структура данных используется, чтобы проверить, сбалансированы ли скобки в «{[()]}»?

  1. AХеш-таблица
  2. BОчередь
  3. CДвоичное дерево поиска
  4. DСтек
4.Структуры данныхСложная

Узел АВЛ-дерева разбалансирован, потому что правое поддерево его левого потомка стало слишком высоким (случай левый–правый). Какое исправление применяется?

  1. AОдиночный правый поворот в узле
  2. BЛевый поворот в левом потомке, затем правый поворот в узле
  3. CОдиночный левый поворот в узле
  4. DПравый поворот в левом потомке, затем левый поворот в узле
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K8? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K8
H =
6.Теория графовСложная
1314113151075ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 5; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n log n)

Почему это ответ

По основной теореме о рекуррентных соотношениях (master theorem) при a = 2, b = 2, f(n) = n получаем T(n) = Θ(n log n).

Ответ

C · O(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Θ(n log² n)

Почему это ответ

Уровень k выполняет около n log(n / 2ᵏ) работы, и суммирование по log n уровням даёт Θ(n log² n) — расширенный второй случай основной теоремы.

Ответ

C · Θ(n log² n)
3.Структуры данных

Ответ: D · Стек

Почему это ответ

Каждую открывающую скобку помещают в стек (push), а при появлении закрывающей извлекают (pop); она должна соответствовать извлечённой, а в конце стек должен быть пуст.

Ответ

D · Стек
4.Структуры данных

Ответ: B · Левый поворот в левом потомке, затем правый поворот в узле

Почему это ответ

Первый поворот превращает случай левый–правый в случай левый–левый, который затем исправляет правый поворот в несбалансированном узле.

Ответ

B · Левый поворот в левом потомке, затем правый поворот в узле
5.Теория графов

Ответ: H = 2520

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Ответ

H = 2520
6.Теория графов

Ответ: D

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 13
2. B (13): C: 27, D: 24, E: 18
3. E (18): C: 21, F: 25
4. C (21)
5. D (24)
6. F (25)

шаг 5

D

Ответ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms