Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Сколько памяти стека использует простая рекурсивная функция факториала fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое определение класса NP верно?

  1. AЗадачи, которые нельзя решить за полиномиальное время
  2. BЗадачи, которые не являются полиномиальными
  3. CЗадачи, которые не может решить ни один алгоритм
  4. DЗадачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата
3.Структуры данныхСредняя

В дорожной сети 100 000 перекрёстков, каждый соединён примерно с 4 другими. Какое представление подходит лучше всего?

  1. AОдин отсортированный массив вершин
  2. BДвоичная куча рёбер
  3. CСписки смежности
  4. DМатрица смежности
4.Структуры данныхСложная

Нужно хранить k наименьших значений из потока n чисел, используя O(k) памяти. Какой подход работает за время O(n log k)?

  1. AОтсортированный массив всех n значений
  2. BОчередь FIFO последних k значений
  3. CMin-куча, хранящая все n значений, из которой в конце извлекаются k наименьших
  4. DMax-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 19 вершин и 26 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 19|E| = 26
k =
6.Теория графовСложная
1517122046108ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n)

Почему это ответ

Глубина рекурсии — n вызовов до первого возврата, и каждому вызову нужен кадр стека, поэтому используется O(n) памяти.

Ответ

A · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Задачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата

Почему это ответ

Для задачи из NP предложенное решение (сертификат) можно быстро проверить, например убедиться, что данное присваивание выполняет булеву формулу.

Ответ

D · Задачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата
3.Структуры данных

Ответ: C · Списки смежности

Почему это ответ

Матрице понадобилось бы 1010 ячеек, почти все пустые; списки смежности хранят лишь около 400 000 записей о рёбрах.

Ответ

C · Списки смежности
4.Структуры данных

Ответ: D · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение

Почему это ответ

Корень max-кучи — наибольшее из хранимых значений; любое меньшее новое значение заменяет его за O(log k), поэтому куча всегда содержит k наименьших значений на данный момент.

Ответ

D · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
5.Теория графов

Ответ: k = 8

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

19 − 1 = 18

Рёбра для удаления

k = 26 − 18 = 8

Ответ

k = 8
6.Теория графов

Ответ: W = 50

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

DE (4): берём
DF (6): берём
BE (8): берём
EF (10): пропускаем, замыкает цикл
BD (12): пропускаем, замыкает цикл
AB (15): берём
BC (17): берём

Суммарный вес

W = 4 + 6 + 8 + 15 + 17 = 50

Ответ

W = 50

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms