Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение об o-нотации (o малое) верно?

  1. A2n = o(n), потому что 2n растёт медленно
  2. Bn = o(n), поскольку каждая функция есть o малое от самой себя
  3. Cn² = o(n)
  4. Dn = o(n²), но n не является o(n)
3.Структуры данныхСредняя

Ключи 50, 30, 70, 20, 40 вставляются в таком порядке в пустое двоичное дерево поиска. Кто левый потомок 30?

  1. A40
  2. B70
  3. C50
  4. D20
4.Структуры данныхСложная

Структура union-find (система непересекающихся множеств) с объединением по рангу и сжатием путей имеет амортизированную стоимость операции:

  1. AO(n)
  2. BРовно O(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 3 вершин степени 5, 4 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 33 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
201671813423ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n log n)

Почему это ответ

Внутренний цикл выполняется около log₂ n раз для каждой из n внешних итераций, что даёт O(n log n).

Ответ

C · O(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · n = o(n²), но n не является o(n)

Почему это ответ

f = o(g) означает, что f(n) / g(n) стремится к 0; n / n² стремится к 0, а n / n = 1 — нет.

Ответ

D · n = o(n²), но n не является o(n)
3.Структуры данных

Ответ: D · 20

Почему это ответ

20 меньше 50 и меньше 30, поэтому становится левым потомком 30; 40 становится его правым потомком.

Ответ

D · 20
4.Структуры данных

Ответ: D · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа

Почему это ответ

С обеими оптимизациями операции выполняются за амортизированное время O(α(n)); α(n) ≤ 4 для любого реалистичного n.

Ответ

D · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
5.Теория графов

Ответ: L = 15

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 35 = 2(L + 11) − 2
L = 15

Ответ

L = 15

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: W = 41

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

DF (2): берём
EF (3): берём
DE (4): пропускаем, замыкает цикл
BC (7): берём
CE (13): берём
AC (16): берём

Суммарный вес

W = 2 + 3 + 7 + 13 + 16 = 41

Ответ

W = 41

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms