Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что вычисляет алгоритм Флойда–Уоршелла и как быстро?

  1. AКратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
  2. BКратчайшие пути из одной исходной вершины до всех остальных за O(V + E)
  3. CТопологический порядок за O(V²)
  4. DМинимальное остовное дерево за O(E log V)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Топологическая сортировка возможна только для:

  1. AПолных графов
  2. BОриентированных ациклических графов
  3. CГрафов с отрицательными весами
  4. DНеориентированных графов
3.Структуры данныхСредняя

Приложению нужен быстрый поиск, а также вывод ключей в отсортированном порядке и запросы по диапазону. Какая структура подходит лучше всего?

  1. AСбалансированное двоичное дерево поиска
  2. BНеотсортированный связный список
  3. CХеш-таблица
  4. DСтек
4.Структуры данныхСложная

Почему в хеш-таблице с открытой адресацией удаление часто выполняют с помощью метки «надгробие» (tombstone)?

  1. AУдалённые ключи нужно хранить вечно из соображений безопасности, поэтому ячейки нельзя использовать повторно
  2. BНадгробия ускоряют хеширование
  3. CОсвобождение ячейки могло бы разорвать последовательность пробирования для других ключей
  4. DЭто делает таблицу отсортированной
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 4 вершин степени 5, 3 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 34 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
4202151111014812ABCDEFG

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 6; пропущенные рёбра не считаются.

k = 6
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро GC
  9. 9ребро GD
  10. 10ребро GE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)

Почему это ответ

Флойд–Уоршелл — алгоритм динамического программирования, который по очереди допускает каждую вершину как промежуточную точку и использует время O(V³).

Ответ

A · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Ориентированных ациклических графов

Почему это ответ

Топологический порядок существует тогда и только тогда, когда в ориентированном графе нет циклов; его можно найти за O(V + E) с помощью DFS или алгоритма Кана.

Ответ

B · Ориентированных ациклических графов
3.Структуры данных

Ответ: A · Сбалансированное двоичное дерево поиска

Почему это ответ

Сбалансированное BST даёт поиск за O(log n) и хранит ключи упорядоченными, поэтому симметричный обход и запросы по диапазону просты; хеш-таблица разбрасывает ключи.

Ответ

A · Сбалансированное двоичное дерево поиска
4.Структуры данных

Ответ: C · Освобождение ячейки могло бы разорвать последовательность пробирования для других ключей

Почему это ответ

Если бы удалённая ячейка стала пустой, последующие поиски могли бы остановиться слишком рано и пропустить ключи, размещённые дальше в цепочке пробирования.

Ответ

C · Освобождение ячейки могло бы разорвать последовательность пробирования для других ключей
5.Теория графов

Ответ: L = 18

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 38 = 2(L + 11) − 2
L = 18

Ответ

L = 18

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: ребро GC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. DE (1)
2. BC (2)
3. AB (4)
4. GD (8)
5. EF (10)
6. GC (14)

номер ребра 6

GC

Ответ

ребро GC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms