Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Жадный алгоритм:

  1. AНа каждом шаге делает локально наилучший выбор
  2. BВсегда даёт оптимальное решение
  3. CПеребирает все возможные решения
  4. DИспользует только рекурсию
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какой алгоритм находит минимальное остовное дерево, многократно добавляя самое дешёвое ребро, не образующее цикла?

  1. AАлгоритм Прима, начинающий с одной вершины
  2. BАлгоритм Краскала
  3. CАлгоритм Дейкстры
  4. DАлгоритм Флойда–Уоршелла
3.Структуры данныхСредняя

Сколько памяти занимают списки смежности для графа с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V²)
  3. CO(E²)
  4. DO(V + E)
4.Структуры данныхСложная

Динамический массив удваивается при заполнении. Почему многие реализации уменьшают его, только когда он заполнен на четверть, а не наполовину?

  1. AЧтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы
  2. BЧтобы массив оставался отсортированным
  3. CПотому что уменьшение вдвое при половинном заполнении привело бы к потере элементов
  4. DПотому что распределитель памяти может освобождать память только четвертями блока
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
1212111528144414ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · На каждом шаге делает локально наилучший выбор

Почему это ответ

Жадные алгоритмы быстры и для некоторых задач оптимальны (например, алгоритм Дейкстры, кодирование Хаффмана), но не в общем случае (например, задача о размене монет для некоторых систем монет).

Ответ

A · На каждом шаге делает локально наилучший выбор
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Алгоритм Краскала

Почему это ответ

Алгоритм Краскала сортирует рёбра по весу и добавляет их, если они соединяют разные компоненты; алгоритм Прима наращивает одно дерево от начальной вершины.

Ответ

B · Алгоритм Краскала
3.Структуры данных

Ответ: D · O(V + E)

Почему это ответ

У каждой вершины есть список, а каждое ребро встречается один раз (ориентированный граф) или дважды (неориентированный), что даёт O(V + E).

Ответ

D · O(V + E)
4.Структуры данных

Ответ: A · Чтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы

Почему это ответ

Уменьшение при половинном заполнении в такой последовательности могло бы вызывать изменение размера на каждой операции; промежуток между 1/4 и полным заполнением сохраняет амортизированную стоимость O(1).

Ответ

A · Чтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 33

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 12
B (12): C: 24, D: 23, G: 26
D (23): E: 25
C (24)
E (25): F: 33
G (26)
F (33)

Кратчайший путь

A → B → D → E → F
d(F) = 33

Ответ

d(F) = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms