Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

По основной теореме (master theorem) решением T(n) = 8T(n/2) + O(n²) является:

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n² log n)
3.Структуры данныхСредняя

Сколько времени занимает поиск слова длины L в префиксном дереве (trie) с фиксированным алфавитом?

  1. AO(L), независимо от числа хранимых слов
  2. BO(log n), где n — число слов
  3. CO(n), где n — число слов
  4. DO(L × n)
4.Структуры данныхСложная

Почему B-деревья используются в базах данных и файловых системах?

  1. AВысокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска
  2. BИм не нужна перебалансировка
  3. CОни занимают меньше памяти, чем любой массив, поэтому весь индекс всегда помещается в оперативной памяти
  4. DОни хранят неотсортированные данные
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 2 вершин степени 4, 4 вершин степени 5, 3 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 32 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
811121510181317ABCDEF

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины F. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 2.

начало: Fk = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BD
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n log n)

Почему это ответ

Внутренний цикл выполняется около log₂ n раз для каждой из n внешних итераций, что даёт O(n log n).

Ответ

A · O(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Θ(n³)

Почему это ответ

log₂ 8 = 3, а n² растёт медленнее, чем n³, поэтому доминируют листья: Θ(n³).

Ответ

C · Θ(n³)
3.Структуры данных

Ответ: A · O(L), независимо от числа хранимых слов

Почему это ответ

Каждый символ выбирает одного потомка, поэтому поиск занимает L шагов, сколько бы слов ни содержало дерево.

Ответ

A · O(L), независимо от числа хранимых слов
4.Структуры данных

Ответ: A · Высокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска

Почему это ответ

B-деревья хранят много ключей в узле, поэтому высота мала и на один поиск нужно мало чтений блоков; B+ деревья также связывают листья для сканирования диапазонов.

Ответ

A · Высокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска
5.Теория графов

Ответ: L = 22

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 46 = 2(L + 13) − 2
L = 22

Ответ

L = 22

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: ребро DE

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. EF (13)
2. DE (10)
3. BD (12)
4. AB (8)
5. AC (11)

номер ребра 2

DE

Ответ

ребро DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms