Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Жадный алгоритм:

  1. AИспользует только рекурсию
  2. BПеребирает все возможные решения
  3. CНа каждом шаге делает локально наилучший выбор
  4. DВсегда даёт оптимальное решение
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача является NP-полной, если она:

  1. AНеразрешима
  2. BПринадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время
  3. CРешается за полиномиальное время
  4. DЛежит вне NP, но сложнее всех задач NP, как проблема остановки
3.Структуры данныхСредняя

Симметричный обход (in-order) двоичного дерева поиска посещает ключи:

  1. AВсегда в порядке убывания
  2. BВ порядке возрастания (отсортированно)
  3. CВ порядке вставки
  4. DПо уровням
4.Структуры данныхСложная

Какое утверждение о пирамидальной сортировке (heapsort) верно?

  1. AОна сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой
  2. BОна устойчива и требует O(n) дополнительной памяти
  3. CЕй нужно двоичное дерево поиска как дополнительное хранилище, поэтому она использует O(n) дополнительной памяти
  4. DОна работает за O(n) на любых входных данных
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 3, 2 вершин степени 4, 2 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 32 × deg 42 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
20171851215710ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · На каждом шаге делает локально наилучший выбор

Почему это ответ

Жадные алгоритмы быстры и для некоторых задач оптимальны (например, алгоритм Дейкстры, кодирование Хаффмана), но не в общем случае (например, задача о размене монет для некоторых систем монет).

Ответ

C · На каждом шаге делает локально наилучший выбор
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Принадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время

Почему это ответ

NP-полные задачи — самые сложные в NP; полиномиальный алгоритм для одной из них дал бы полиномиальный алгоритм для всего класса NP.

Ответ

B · Принадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: B · В порядке возрастания (отсортированно)

Почему это ответ

Посещение левого поддерева, затем узла, затем правого поддерева выводит ключи BST в отсортированном порядке.

Ответ

B · В порядке возрастания (отсортированно)
4.Структуры данных

Ответ: A · Она сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой

Почему это ответ

Heapsort строит max-кучу и n раз извлекает максимум в том же массиве; обмены на большие расстояния могут менять порядок равных ключей.

Ответ

A · Она сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой
5.Теория графов

Ответ: L = 9

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 21 = 2(L + 7) − 2
L = 9

Ответ

L = 9

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: W = 54

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

CE (5): берём
EF (7): берём
BE (10): берём
DE (12): берём
DF (15): пропускаем, замыкает цикл
BC (17): пропускаем, замыкает цикл
BD (18): пропускаем, замыкает цикл
AB (20): берём

Суммарный вес

W = 5 + 7 + 10 + 12 + 20 = 54

Ответ

W = 54

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms