Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Динамическое программирование полезно, когда у задачи есть:

  1. AПерекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
  2. BОдин цикл
  3. CТолько случайные входные данные
  4. DВообще никаких подзадач, поэтому её можно решить за один шаг
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему поиск в хеш-таблице в среднем имеет сложность O(1), а в худшем случае — O(n)?

  1. AКлючи сначала нужно отсортировать
  2. BМногие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину
  3. CХеш-функции работают медленно
  4. DДоступ к массивам имеет сложность O(n)
3.Структуры данныхСредняя

Что верно для матрицы смежности неориентированного графа?

  1. AВ каждой строке ровно одна 1
  2. BОна всегда верхнетреугольная
  3. CНа её главной диагонали всегда стоят единицы
  4. DОна симметрична относительно главной диагонали
4.Структуры данныхСложная

Объект хранится как ключ в хеш-отображении, а затем меняется поле, используемое его хеш-функцией. Каков вероятный результат?

  1. AОтображение автоматически переносит ключ в новую корзину
  2. BПоиск объекта может не удаться, потому что он лежит в корзине своего старого хеша
  3. CНичего не меняется, потому что хеш ключа вычисляется только один раз при запуске программы
  4. DОтображение выбрасывает ошибку в момент изменения поля
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 5, 3 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
10121311041189ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

Почему это ответ

Сохранение результатов перекрывающихся подзадач (мемоизация или табуляция) позволяет избежать повторной работы и превращает экспоненциальные алгоритмы в полиномиальные.

Ответ

A · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Многие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину

Почему это ответ

При хорошей хеш-функции и подходящем коэффициенте заполнения корзины в среднем остаются короткими; злонамеренно подобранные данные или плохое хеширование могут поместить все ключи в одну корзину.

Ответ

B · Многие ключи из-за коллизий могут попасть в одну и ту же корзину
3.Структуры данных

Ответ: D · Она симметрична относительно главной диагонали

Почему это ответ

В неориентированном графе ребро {u, v} означает, что установлены и M[u][v], и M[v][u], поэтому матрица равна своей транспонированной.

Ответ

D · Она симметрична относительно главной диагонали
4.Структуры данных

Ответ: B · Поиск объекта может не удаться, потому что он лежит в корзине своего старого хеша

Почему это ответ

Место ключа было выбрано по его старому хешу; с новым хешем поиск идёт не в той корзине, поэтому ключи должны быть неизменяемыми.

Ответ

B · Поиск объекта может не удаться, потому что он лежит в корзине своего старого хеша
5.Теория графов

Ответ: L = 14

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 26 = 2(L + 7) − 2
L = 14

Ответ

L = 14

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 15

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 10, C: 12
B (10): D: 11
D (11): F: 15, G: 19
C (12): E: 22
F (15)
G (19)
E (22)

Кратчайший путь

A → B → D → F
d(F) = 15

Ответ

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms