Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что означает, что задача обладает оптимальной подструктурой?

  1. AУ задачи ровно одно оптимальное решение, общее для всех подзадач
  2. BВсе подзадачи одного размера
  3. CЗадачу можно решить за постоянное время
  4. DОптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение о выборе k-го наименьшего элемента неотсортированного массива верно?

  1. AQuickselect работает за O(log n) в худшем случае, потому что рекурсия идёт только в одну сторону от опорного элемента
  2. BВыбор всегда требует Ω(n log n), потому что нужна сортировка
  3. CВыбор возможен только за O(n²)
  4. DQuickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
3.Структуры данныхСредняя

Какое условие балансировки поддерживает АВЛ-дерево в каждом узле?

  1. AВсе листья находятся ровно на одной глубине
  2. BВысоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1
  3. CОба поддерева каждого узла содержат ровно одинаковое число узлов
  4. DКаждый узел окрашен в красный или чёрный цвет
4.Структуры данныхСложная

Каково при простом равномерном хешировании ожидаемое время поиска в хеш-таблице с цепочками, n ключами и m корзинами?

  1. AO(1 + α), где α = n / m
  2. BO(m)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
91231213711ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(E) кратчайшего пути от A до E во взвешенном графе.

начало: Aконец: E
d(E) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Оптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач

Почему это ответ

Оптимальная подструктура необходима, чтобы и жадные алгоритмы, и динамическое программирование давали правильные ответы.

Ответ

D · Оптимальное решение можно построить из оптимальных решений её подзадач
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае

Почему это ответ

Ожидаемая работа quickselect со случайными опорными элементами n + n/2 + n/4 + ... = O(n); выбор опорного элемента как медианы медиан делает худший случай линейным.

Ответ

D · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
3.Структуры данных

Ответ: B · Высоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1

Почему это ответ

Показатель сбалансированности (высота левого − высота правого) должен быть −1, 0 или 1; повороты восстанавливают его после вставок и удалений.

Ответ

B · Высоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1
4.Структуры данных

Ответ: A · O(1 + α), где α = n / m

Почему это ответ

Вычисление хеша стоит O(1), а ожидаемая длина цепочки равна α, поэтому, если ограничивать α увеличением таблицы, ожидаемое время составит O(1).

Ответ

A · O(1 + α), где α = n / m
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Нечётные вершины

B, C, D, F → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: d(E) = 14

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 9, C: 1
C (1): B: 3
B (3): D: 6, E: 14
D (6): F: 19
E (14)
F (19)

Кратчайший путь

A → C → B → E
d(E) = 14

Ответ

d(E) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms