Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Нижняя граница для сортировки сравнениями в худшем случае равна:

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему бинарный поиск не даёт времени O(log n) на односвязном списке?

  1. AСравнения узлов связного списка медленнее
  2. BБинарному поиску нужно как минимум вдвое больше памяти
  3. CСвязные списки нельзя сортировать
  4. DЧтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу
3.Структуры данныхСредняя

Очередь реализована двумя стеками: push в стек «in», pop из стека «out», который при опустошении заполняется из «in». Какова амортизированная стоимость одной операции?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
4.Структуры данныхСложная

Как определить, есть ли цикл в односвязном списке, используя O(1) дополнительной памяти?

  1. AХранить каждый посещённый узел в хеш-множестве
  2. BСчитать узлы, пока счёт не превысит поле длины списка
  3. CДвигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они
  4. DОтсортировать список и искать повторы
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 4, 4 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 44 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
15414137315ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Ω(n log n)

Почему это ответ

Любой сортировке сравнениями в худшем случае требуется не менее log₂(n!) ≈ n log n сравнений. Сортировка подсчётом (counting sort) обходит эту границу, так как не сравнивает элементы.

Ответ

A · Ω(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Чтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу

Почему это ответ

Бинарному поиску нужен доступ к середине за O(1); в связном списке путь туда стоит линейного времени, поэтому итог O(n).

Ответ

D · Чтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу
3.Структуры данных

Ответ: D · O(1)

Почему это ответ

Каждый элемент помещается и извлекается в сумме не более двух раз, поэтому, хотя одно перезаполнение может занять O(n), в среднем по последовательности операций выходит O(1).

Ответ

D · O(1)
4.Структуры данных

Ответ: C · Двигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они

Почему это ответ

В алгоритме Флойда при наличии цикла быстрый указатель в итоге догоняет медленный; иначе быстрый указатель доходит до null.

Ответ

C · Двигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они
5.Теория графов

Ответ: L = 10

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 24 = 2(L + 8) − 2
L = 10

Ответ

L = 10

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 19

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 1, C: 5
B (1): D: 15, E: 16
C (5)
D (15): F: 22
E (16): F: 19
F (19)

Кратчайший путь

A → B → E → F
d(F) = 19

Ответ

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms