Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Быстрая сортировка всегда берёт в качестве опорного первый элемент. На каком входе проявляется её поведение в худшем случае?

  1. AНа уже отсортированном массиве
  2. BНа массиве, все элементы которого различны
  3. CНа массиве длины 2
  4. DНа массиве в случайном порядке
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение об o-нотации (o малое) верно?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n), поскольку каждая функция есть o малое от самой себя
  3. C2n = o(n), потому что 2n растёт медленно
  4. Dn = o(n²), но n не является o(n)
3.Структуры данныхСредняя

Какова стоимость вставки элемента в середину массива из n элементов?

  1. AO(log n) из-за двоичного поиска
  2. BO(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть
  3. CO(1), потому что индекс известен
  4. DO(n²), потому что каждый элемент сдвигается n раз
4.Структуры данныхСложная

Чем radix-дерево (сжатое префиксное дерево) лучше обычного trie?

  1. AОно сортирует потомков каждого узла по частоте
  2. BОно хранит только первую букву каждого слова
  3. CОно хранит каждое слово в хеш-таблице в корне вместо отдельных узлов
  4. DОно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
131851310133ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · На уже отсортированном массиве

Почему это ответ

На отсортированном входе опорный элемент всегда минимален, поэтому одна часть пуста, а в другой n − 1 элемент, что даёт O(n²).

Ответ

A · На уже отсортированном массиве
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · n = o(n²), но n не является o(n)

Почему это ответ

f = o(g) означает, что f(n) / g(n) стремится к 0; n / n² стремится к 0, а n / n = 1 — нет.

Ответ

D · n = o(n²), но n не является o(n)
3.Структуры данных

Ответ: B · O(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть

Почему это ответ

Все элементы после места вставки сдвигаются на одну позицию вправо, что занимает время, пропорциональное n.

Ответ

B · O(n), потому что последующие элементы нужно сдвинуть
4.Структуры данных

Ответ: D · Оно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой

Почему это ответ

Сжатие путей без ветвлений уменьшает число узлов и расход памяти, сохраняя поиск по префиксу.

Ответ

D · Оно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Нечётные вершины

C, E → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 29

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 13
B (13): C: 14, D: 21, E: 16
C (14)
E (16): F: 29
D (21)
F (29)

Кратчайший путь

A → B → E → F
d(F) = 29

Ответ

d(F) = 29

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms