Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Жадный алгоритм:

  1. AИспользует только рекурсию
  2. BПеребирает все возможные решения
  3. CВсегда даёт оптимальное решение
  4. DНа каждом шаге делает локально наилучший выбор
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Если взять оба конца каждого ребра максимального (по включению) паросочетания, получится вершинное покрытие. Насколько оно хорошее?

  1. AВсегда минимальное вершинное покрытие
  2. BНе более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия
  3. CНеизвестного качества по сравнению с оптимумом
  4. DНе более чем в log n раз больше минимума
3.Структуры данныхСредняя

АВЛ-деревья (AVL) и красно-чёрные деревья гарантируют:

  1. AВысоту O(log n) благодаря перебалансировке
  2. BПоиск за константное время в любом случае
  3. CХранение ключей в порядке вставки
  4. DЧто ни у одного узла нет двух потомков
4.Структуры данныхСложная

Какое утверждение о пирамидальной сортировке (heapsort) верно?

  1. AОна устойчива и требует O(n) дополнительной памяти
  2. BЕй нужно двоичное дерево поиска как дополнительное хранилище, поэтому она использует O(n) дополнительной памяти
  3. CОна работает за O(n) на любых входных данных
  4. DОна сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 15 вершин и 19 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 15|E| = 19
k =
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует маршрутов длины 2 из D в C? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · На каждом шаге делает локально наилучший выбор

Почему это ответ

Жадные алгоритмы быстры и для некоторых задач оптимальны (например, алгоритм Дейкстры, кодирование Хаффмана), но не в общем случае (например, задача о размене монет для некоторых систем монет).

Ответ

D · На каждом шаге делает локально наилучший выбор
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Не более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия

Почему это ответ

Рёбра паросочетания не имеют общих вершин, поэтому оптимуму нужна хотя бы одна вершина на ребро, а этот метод берёт две: это 2-приближение.

Ответ

B · Не более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия
3.Структуры данных

Ответ: A · Высоту O(log n) благодаря перебалансировке

Почему это ответ

Самобалансирующиеся деревья сохраняют логарифмическую высоту, поэтому поиск, вставка и удаление в худшем случае выполняются за O(log n).

Ответ

A · Высоту O(log n) благодаря перебалансировке
4.Структуры данных

Ответ: D · Она сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой

Почему это ответ

Heapsort строит max-кучу и n раз извлекает максимум в том же массиве; обмены на большие расстояния могут менять порядок равных ключей.

Ответ

D · Она сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой
5.Теория графов

Ответ: k = 5

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

15 − 1 = 14

Рёбра для удаления

k = 19 − 14 = 5

Ответ

k = 5
6.Теория графов

Ответ: N = 2

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Общие соседи

(M²)DC = 0·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·0 = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms