Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях: Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярный граф: |E| = n·k/2
Дерево и лес: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер: цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в K_n: (n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L: (Mᴸ)_ij

Метод

Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Временная сложность наивного рекурсивного вычисления чисел Фибоначчи (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) является:

AЛогарифмической
BЛинейной
CКонстантной
DЭкспоненциальной

2.Алгоритмы и сложностьСложная

Умножение Карацубы удовлетворяет T(n) = 3T(n/2) + O(n). Каково решение?

AΘ(n²)
BΘ(n³)
CΘ(n^{log₂ 3}), примерно n^1,585
DΘ(n log n)

3.Структуры данныхСредняя

Каков максимально возможный коэффициент заполнения хеш-таблицы с открытой адресацией?

A1
B2
CМаксимума нет
D0,5

4.Структуры данныхСложная

Какую проблему линейного пробирования в основном уменьшает двойное хеширование?

AПервичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек
BНеобходимость в хеш-функции
CНеобходимость хранить ключи в таблице
DСтоимость O(n) чтения значения по ключу

5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K₆? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K₆

H =

6.Теория графовСложная

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 3; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 3

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Экспоненциальной

Почему это ответ

Дерево вызовов растёт примерно как φⁿ (около 1,618ⁿ). Мемоизация снижает сложность до O(n).

Ответ

D · Экспоненциальной

2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Θ(n^{log₂ 3}), примерно n^1,585

Почему это ответ

Поскольку log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, по основной теореме доминируют листья, и это лучше школьного метода O(n²).

Ответ

C · Θ(n^{log₂ 3}), примерно n^1,585

3.Структуры данных

Ответ: A · 1

Почему это ответ

При открытой адресации все ключи хранятся в самой таблице, поэтому n не может превышать m; при методе цепочек коэффициент заполнения может быть больше 1.

Ответ

A · 1

4.Структуры данных

Ответ: A · Первичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек

Почему это ответ

Линейное пробирование делает шаг 1, поэтому серии занятых ячеек растут и сливаются; двойное хеширование использует второй хеш для размера шага, так что разные ключи проходят разные последовательности.

Ответ

A · Первичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек

5.Теория графов

Ответ: H = 60

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в K_n их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Ответ

H = 60

6.Теория графов

Ответ: B

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 14, C: 5

2. C (5): E: 20

3. B (14)

4. E (20): D: 31, F: 33

5. D (31)

6. F (33)

шаг 3

Ответ

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms