Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему основание логарифма в O большом обычно не указывают, как в O(log n)?

  1. AЛогарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
  2. BВсе логарифмы в информатике имеют основание 10, так что оно подразумевается
  3. CОснование имеет значение только при малых n
  4. DЛогарифмы всегда округляются до целых
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какие две вещи нужно показать, чтобы доказать NP-полноту задачи распознавания X?

  1. AX лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время
  2. BX лежит в P, и X сводится к SAT
  3. CX сводится к задаче из P, и X лежит в NP
  4. DУ X нет полиномиального алгоритма, и X разрешима
3.Структуры данныхСредняя

АВЛ-деревья (AVL) и красно-чёрные деревья гарантируют:

  1. AПоиск за константное время в любом случае
  2. BХранение ключей в порядке вставки
  3. CВысоту O(log n) благодаря перебалансировке
  4. DЧто ни у одного узла нет двух потомков
4.Структуры данныхСложная

Сколько времени занимает поиск произвольного ключа в двоичной min-куче из n элементов?

  1. AO(log log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
1214371211139ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 3; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем

Почему это ответ

Смена основания умножает логарифм на константу, а O большое игнорирует постоянные множители.

Ответ

A · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · X лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время

Почему это ответ

Принадлежность к NP показывает, что X не сложнее NP; сведение известной NP-полной задачи показывает, что X не легче всего класса NP.

Ответ

A · X лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: C · Высоту O(log n) благодаря перебалансировке

Почему это ответ

Самобалансирующиеся деревья сохраняют логарифмическую высоту, поэтому поиск, вставка и удаление в худшем случае выполняются за O(log n).

Ответ

C · Высоту O(log n) благодаря перебалансировке
4.Структуры данных

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

Куча не даёт правила, в каком поддереве находится ключ, поэтому в худшем случае нужно проверить все узлы; быстро находится только минимум.

Ответ

D · O(n)
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Нечётные вершины

A, B, C, D, E, F → 6
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: C

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 1, C: 2
2. B (1): D: 4, E: 10
3. C (2): E: 9
4. D (4): F: 15
5. E (9)
6. F (15)

шаг 3

C

Ответ

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms