Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Функция выполняет один цикл из n итераций, а затем, отдельно, ещё один цикл из n итераций. Какова её временна́я сложность?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какая оценка для log(n!) верна?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(log n)
3.Структуры данныхСредняя

Как вставляется новый элемент в двоичную кучу?

  1. AЕго вставляют в отсортированную позицию, сдвигая все бо́льшие элементы на одно место вправо
  2. BВсю кучу перестраивают с нуля
  3. CЕго помещают в конец массива и поднимают вверх (sift up), пока он нарушает свойство кучи
  4. DЕго помещают в корень и опускают вниз
4.Структуры данныхСложная

Какое свойство поддерживает любое B-дерево идеально сбалансированным?

  1. AКаждый узел хранит один ключ
  2. BКлючи хранятся только в корне
  3. CУ каждого узла ровно два потомка
  4. DВсе листья находятся на одной глубине
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 3, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 3
L =
6.Теория графовСложная
68321574111320ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n)

Почему это ответ

n + n = 2n, а постоянные множители отбрасываются, поэтому функция есть O(n).

Ответ

B · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Θ(n log n)

Почему это ответ

log(n!) ≤ n log n, а наибольшие n / 2 множителей дают log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); поэтому сортировке сравнениями нужно Ω(n log n).

Ответ

A · Θ(n log n)
3.Структуры данных

Ответ: C · Его помещают в конец массива и поднимают вверх (sift up), пока он нарушает свойство кучи

Почему это ответ

Добавление в конец сохраняет полноту дерева; обмены с родителем восстанавливают порядок за O(log n) шагов.

Ответ

C · Его помещают в конец массива и поднимают вверх (sift up), пока он нарушает свойство кучи
4.Структуры данных

Ответ: D · Все листья находятся на одной глубине

Почему это ответ

Заполненные узлы расщепляются вверх, а дерево становится выше только при расщеплении корня, поэтому все листья всегда остаются на одном уровне.

Ответ

D · Все листья находятся на одной глубине
5.Теория графов

Ответ: L = 5

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

Ответ

L = 5

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: W = 33

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BD (2): берём
BC (3): берём
EF (4): берём
AB (6): берём
DF (7): берём
AC (8): пропускаем, замыкает цикл
GB (11): берём

Суммарный вес

W = 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 11 = 33

Ответ

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms