Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какое утверждение о рекурсивной функции без достижимого базового случая верно?

  1. AОна работает за время O(1)
  2. BКомпилятор всегда превращает её в цикл, который безопасно завершается
  3. CОна автоматически возвращает 0
  4. DОна продолжает вызывать себя, пока не переполнится стек вызовов
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каковы затраты времени и памяти при вычислении n-го числа Фибоначчи циклом, хранящим только два последних значения?

  1. AO(log n) времени и O(n) памяти
  2. BO(2ⁿ) времени и O(1) памяти
  3. CO(n) времени и O(n) памяти
  4. DO(n) времени и O(1) памяти
3.Структуры данныхСредняя

Сколько памяти занимает матрица смежности графа с V вершинами?

  1. AO(E)
  2. BO(V²)
  3. CO(log V)
  4. DO(V + E)
4.Структуры данныхСложная

Какая структура данных обеспечивает кэш LRU (least recently used) с операциями get и put за O(1)?

  1. AОдин отсортированный массив
  2. BТолько стек
  3. CХеш-таблица в сочетании с двусвязным списком
  4. DТолько двоичное дерево поиска
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
1391321410612ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 4; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Она продолжает вызывать себя, пока не переполнится стек вызовов

Почему это ответ

Без базового случая рекурсия никогда не останавливается; на практике память для кадров стека заканчивается, и программа аварийно завершается.

Ответ

D · Она продолжает вызывать себя, пока не переполнится стек вызовов
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n) времени и O(1) памяти

Почему это ответ

Каждому шагу нужны лишь два предыдущих значения, поэтому таблицу восходящего метода можно заменить двумя переменными.

Ответ

D · O(n) времени и O(1) памяти
3.Структуры данных

Ответ: B · O(V²)

Почему это ответ

Матрица смежности хранит V × V элементов, что эффективно для плотных графов; списки смежности занимают O(V + E) и лучше подходят для разреженных графов.

Ответ

B · O(V²)
4.Структуры данных

Ответ: C · Хеш-таблица в сочетании с двусвязным списком

Почему это ответ

Хеш-таблица находит узлы за O(1), а двусвязный список перемещает использованные элементы в начало и удаляет с конца за O(1).

Ответ

C · Хеш-таблица в сочетании с двусвязным списком
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: D

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 13, C: 9
2. C (9): E: 23
3. B (13): D: 15
4. D (15): F: 25
5. E (23)
6. F (25)

шаг 4

D

Ответ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms