Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Примерно сколько сравнений нужно бинарному поиску в худшем случае на отсортированном массиве из 1,000,000 элементов?

  1. AОколо 20
  2. BОколо 500,000
  3. CОколо 100
  4. DОколо 1,000
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Топологическая сортировка возможна только для:

  1. AПолных графов
  2. BОриентированных ациклических графов
  3. CНеориентированных графов
  4. DГрафов с отрицательными весами
3.Структуры данныхСредняя

В дорожной сети 100 000 перекрёстков, каждый соединён примерно с 4 другими. Какое представление подходит лучше всего?

  1. AМатрица смежности
  2. BОдин отсортированный массив вершин
  3. CСписки смежности
  4. DДвоичная куча рёбер
4.Структуры данныхСложная

Каковы затраты времени и дополнительной памяти на разворот односвязного списка на месте?

  1. AO(1) времени и O(1) дополнительной памяти
  2. BO(n) времени и O(1) дополнительной памяти
  3. CO(n) времени и O(n) дополнительной памяти
  4. DO(n log n) времени и O(1) дополнительной памяти
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
2741173520ABCDEF

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 4; пропущенные рёбра не считаются.

k = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Около 20

Почему это ответ

220 ≈ 1,048,576, поэтому примерно после 20 делений пополам остаётся один элемент.

Ответ

A · Около 20
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Ориентированных ациклических графов

Почему это ответ

Топологический порядок существует тогда и только тогда, когда в ориентированном графе нет циклов; его можно найти за O(V + E) с помощью DFS или алгоритма Кана.

Ответ

B · Ориентированных ациклических графов
3.Структуры данных

Ответ: C · Списки смежности

Почему это ответ

Матрице понадобилось бы 1010 ячеек, почти все пустые; списки смежности хранят лишь около 400 000 записей о рёбрах.

Ответ

C · Списки смежности
4.Структуры данных

Ответ: B · O(n) времени и O(1) дополнительной памяти

Почему это ответ

Три указателя (предыдущий, текущий, следующий) позволяют развернуть каждую связь за один проход без выделения новых узлов.

Ответ

B · O(n) времени и O(1) дополнительной памяти
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: ребро BC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. BD (1)
2. AB (2)
3. DE (3)
4. BC (4)
5. EF (5)

номер ребра 4

BC

Ответ

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms