Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Для какого варианта задачи о рюкзаке жадное правило «брать предметы в порядке ценности на единицу веса» всегда даёт оптимальный ответ?

  1. AНи для одного варианта
  2. BДля рюкзака 0/1, где предметы всегда нужно брать целиком
  3. CДля непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
  4. DДля обоих вариантов
3.Структуры данныхСредняя

Какое условие балансировки поддерживает АВЛ-дерево в каждом узле?

  1. AКаждый узел окрашен в красный или чёрный цвет
  2. BВысоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1
  3. CОба поддерева каждого узла содержат ровно одинаковое число узлов
  4. DВсе листья находятся ровно на одной глубине
4.Структуры данныхСложная

Какова стоимость одной операции find в худшем случае в структуре union-find с n элементами без объединения по рангу и сжатия путей?

  1. AO(α(n))
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 14 вершин и 19 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 14|E| = 19
k =
6.Теория графовСложная
94131247106ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(log n)

Почему это ответ

Задача на каждом шаге уменьшается вдвое при постоянной работе на шаг, поэтому шагов около log₂ n.

Ответ

C · O(log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить

Почему это ответ

Когда предметы можно делить, выбор по лучшему отношению оптимален; в рюкзаке 0/1 предмет с высоким отношением может помешать лучшей комбинации, поэтому нужно динамическое программирование.

Ответ

C · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
3.Структуры данных

Ответ: B · Высоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1

Почему это ответ

Показатель сбалансированности (высота левого − высота правого) должен быть −1, 0 или 1; повороты восстанавливают его после вставок и удалений.

Ответ

B · Высоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1
4.Структуры данных

Ответ: B · O(n)

Почему это ответ

Наивные объединения могут связать деревья в длинную цепочку, и find придётся пройти n − 1 указателей на родителя; две эвристики приближают стоимость к константе.

Ответ

B · O(n)
5.Теория графов

Ответ: k = 6

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

14 − 1 = 13

Рёбра для удаления

k = 19 − 13 = 6

Ответ

k = 6
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 18

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 9, C: 4
C (4): E: 8
E (8): D: 15, F: 18
B (9)
D (15)
F (18)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 18

Ответ

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms