Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

В отсортированном массиве вы ищете два элемента с заданной суммой, двигая по одному указателю с каждого конца внутрь. Какова временна́я сложность?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое определение класса NP верно?

  1. AЗадачи, которые не являются полиномиальными
  2. BЗадачи, которые не может решить ни один алгоритм
  3. CЗадачи, которые нельзя решить за полиномиальное время
  4. DЗадачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата
3.Структуры данныхСредняя

Сколько памяти занимает матрица смежности графа с V вершинами?

  1. AO(V + E)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V²)
4.Структуры данныхСложная

Какие операции поддерживает за O(log n) дерево Фенвика (binary indexed tree) над массивом из n чисел?

  1. AПоиск медианы за O(1)
  2. BСортировку массива и двоичный поиск
  3. CЗапросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента
  4. DВставку элементов в любую позицию
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует маршрутов длины 3 из A в D? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 3
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n)

Почему это ответ

Если сумма слишком мала, левый указатель сдвигается вправо, если слишком велика — правый влево, поэтому шагов не больше n.

Ответ

C · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Задачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата

Почему это ответ

Для задачи из NP предложенное решение (сертификат) можно быстро проверить, например убедиться, что данное присваивание выполняет булеву формулу.

Ответ

D · Задачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата
3.Структуры данных

Ответ: D · O(V²)

Почему это ответ

Матрица смежности хранит V × V элементов, что эффективно для плотных графов; списки смежности занимают O(V + E) и лучше подходят для разреженных графов.

Ответ

D · O(V²)
4.Структуры данных

Ответ: C · Запросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента

Почему это ответ

Дерево Фенвика хранит частичные суммы по диапазонам, определяемым младшими битами каждого индекса, поэтому и префиксные суммы, и точечные обновления занимают O(log n).

Ответ

C · Запросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Нечётные вершины

D, F → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: N = 1

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Ещё один шаг

(M³)AD = 1·0 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 0·1 = 1

Ответ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms