Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Как алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево?

  1. AОн запускает поиск в ширину и сохраняет дерево BFS
  2. BОн выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
  3. CОн сортирует все рёбра по весу и добавляет каждое, если оно не образует цикл в лесу
  4. DОн удаляет самое дорогое ребро, пока не исчезнут циклы
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Как соотносятся n! и 2ⁿ при больших n?

  1. AОни растут с одинаковой скоростью
  2. Bn! растёт быстрее 2ⁿ
  3. C2ⁿ растёт быстрее n!
  4. Dn! есть O(n²)
3.Структуры данныхСредняя

Какой абстрактный тип данных использует алгоритм Дейкстры для выбора следующей обрабатываемой вершины?

  1. AОчередь FIFO
  2. BСтек
  3. CМножество без упорядочения
  4. DОчередь с приоритетом по минимуму
4.Структуры данныхСложная

Почему базы данных часто используют для индексов B+ деревья, а не обычные B-деревья?

  1. AB+ деревья не нужно балансировать
  2. BB+ деревья используют двоичные внутренние узлы, что сокращает число чтений с диска
  3. CB+ деревья хранят данные только в корне
  4. DВсе записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 18 вершин и 23 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 18|E| = 23
k =
6.Теория графовСложная
76148814123ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева

Почему это ответ

Алгоритм Прима с очередью с приоритетом пересекающих рёбер работает за O(E log V) при использовании двоичной кучи.

Ответ

B · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · n! растёт быстрее 2ⁿ

Почему это ответ

При n ≥ 4 n! превышает 2ⁿ, и отношение растёт неограниченно, потому что каждый новый множитель n! больше 2.

Ответ

B · n! растёт быстрее 2ⁿ
3.Структуры данных

Ответ: D · Очередь с приоритетом по минимуму

Почему это ответ

Очередь с приоритетом по минимуму, обычно двоичная куча, эффективно возвращает непосещённую вершину с наименьшим расстоянием.

Ответ

D · Очередь с приоритетом по минимуму
4.Структуры данных

Ответ: D · Все записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным

Почему это ответ

В B+ дереве внутренние узлы только направляют поиск, а листья связаны в порядке ключей, поэтому запрос по диапазону находит первый ключ и затем идёт по листьям.

Ответ

D · Все записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным
5.Теория графов

Ответ: k = 6

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

18 − 1 = 17

Рёбра для удаления

k = 23 − 17 = 6

Ответ

k = 6
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 12

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 7, C: 6
C (6): E: 14
B (7): D: 15, E: 10
E (10): F: 12
F (12): D: 13
D (13)

Кратчайший путь

A → B → E → F
d(F) = 12

Ответ

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms