Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность алгоритма Беллмана–Форда на графе с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V³ × E)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Алгоритм Штрассена умножает матрицы, используя 7 вместо 8 рекурсивных умножений блоков половинного размера. Каково время его работы?

  1. AΘ(n2)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(nlog₂ 7), примерно n2,81
3.Структуры данныхСредняя

Какова высота двоичного дерева поиска с n узлами в худшем случае, если ключи вставляются в отсортированном порядке?

  1. A√n
  2. B1
  3. Cn (дерево превращается в связный список)
  4. Dlog₂ n
4.Структуры данныхСложная

Сколько времени занимает поиск произвольного ключа в двоичной min-куче из n элементов?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log log n)
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K7? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K7
H =
6.Теория графовСложная
12163131891714ABCDEFG

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины D. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 6.

начало: Dk = 6
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро BC
  3. 3ребро CE
  4. 4ребро DE
  5. 5ребро DF
  6. 6ребро EF
  7. 7ребро GB
  8. 8ребро GC
  9. 9ребро GE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(V × E)

Почему это ответ

Каждый из V − 1 раундов релаксирует все E рёбер, что даёт O(VE); зато он работает с отрицательными весами рёбер.

Ответ

A · O(V × E)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Θ(nlog₂ 7), примерно n2,81

Почему это ответ

При a = 7 и b = 2 член nlog₂ 7 доминирует над работой сложения O(n²), что даёт примерно n2,81.

Ответ

D · Θ(nlog₂ 7), примерно n2,81
3.Структуры данных

Ответ: C · n (дерево превращается в связный список)

Почему это ответ

Вставка отсортированных ключей создаёт вырожденное дерево высотой n, и поиск становится O(n). Сбалансированные деревья это предотвращают.

Ответ

C · n (дерево превращается в связный список)
4.Структуры данных

Ответ: C · O(n)

Почему это ответ

Куча не даёт правила, в каком поддереве находится ключ, поэтому в худшем случае нужно проверить все узлы; быстро находится только минимум.

Ответ

C · O(n)
5.Теория графов

Ответ: H = 360

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Ответ

H = 360
6.Теория графов

Ответ: ребро AB

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. DE (13)
2. CE (3)
3. GC (1)
4. EF (9)
5. BC (16)
6. AB (12)

номер ребра 6

AB

Ответ

ребро AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms