Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково время работы поразрядной сортировки LSD для n целых чисел из d цифр в системе счисления с основанием k?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(n²)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Проблема остановки показывает, что:

  1. AЦиклов следует избегать
  2. BНекоторые программы работают быстрее на более быстрых компьютерах, поэтому остановка зависит от оборудования
  3. CКаждая программа в конце концов останавливается
  4. DНикакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она
3.Структуры данныхСредняя

Какой абстрактный тип данных использует алгоритм Дейкстры для выбора следующей обрабатываемой вершины?

  1. AСтек
  2. BМножество без упорядочения
  3. CОчередь с приоритетом по минимуму
  4. DОчередь FIFO
4.Структуры данныхСложная

Какая структура данных обеспечивает кэш LRU (least recently used) с операциями get и put за O(1)?

  1. AХеш-таблица в сочетании с двусвязным списком
  2. BТолько стек
  3. CТолько двоичное дерево поиска
  4. DОдин отсортированный массив
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
731913166156ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(d(n + k))

Почему это ответ

Каждый из d проходов — сортировка подсчётом стоимостью O(n + k), поэтому при фиксированных d и k итог линеен по n.

Ответ

A · O(d(n + k))
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Никакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она

Почему это ответ

Тьюринг показал, что проблема остановки неразрешима: предположение о существовании разрешающего алгоритма приводит к противоречию с программой, которая поступает наоборот.

Ответ

D · Никакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она
3.Структуры данных

Ответ: C · Очередь с приоритетом по минимуму

Почему это ответ

Очередь с приоритетом по минимуму, обычно двоичная куча, эффективно возвращает непосещённую вершину с наименьшим расстоянием.

Ответ

C · Очередь с приоритетом по минимуму
4.Структуры данных

Ответ: A · Хеш-таблица в сочетании с двусвязным списком

Почему это ответ

Хеш-таблица находит узлы за O(1), а двусвязный список перемещает использованные элементы в начало и удаляет с конца за O(1).

Ответ

A · Хеш-таблица в сочетании с двусвязным списком
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Нечётные вершины

D, E → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 16

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 7, C: 3
C (3): B: 4, G: 9
B (4)
G (9): D: 24, E: 15
E (15): F: 16
F (16)
D (24)

Кратчайший путь

A → C → G → E → F
d(F) = 16

Ответ

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms