Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Как алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево?

  1. AОн запускает поиск в ширину и сохраняет дерево BFS
  2. BОн удаляет самое дорогое ребро, пока не исчезнут циклы
  3. CОн сортирует все рёбра по весу и добавляет каждое, если оно не образует цикл в лесу
  4. DОн выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение о выборе k-го наименьшего элемента неотсортированного массива верно?

  1. AВыбор всегда требует Ω(n log n), потому что нужна сортировка
  2. BВыбор возможен только за O(n²)
  3. CQuickselect работает за O(log n) в худшем случае, потому что рекурсия идёт только в одну сторону от опорного элемента
  4. DQuickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
3.Структуры данныхСредняя

Какую структуру данных использует выполняющаяся программа для отслеживания активных вызовов функций и их локальных переменных?

  1. AХеш-таблицу функций
  2. BСтек вызовов
  3. CДвоичное дерево поиска кадров
  4. DОчередь памяти кучи
4.Структуры данныхСложная

Какому правилу должны подчиняться хеш и равенство, чтобы хеш-таблица работала правильно?

  1. AЗначения хеша должны быть простыми числами
  2. BРазные ключи должны иметь разные значения хеша
  3. CИз равенства хешей следует равенство ключей
  4. DРавные ключи должны иметь равные значения хеша
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 3, 3 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 33 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
14139859106ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 4; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева

Почему это ответ

Алгоритм Прима с очередью с приоритетом пересекающих рёбер работает за O(E log V) при использовании двоичной кучи.

Ответ

D · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае

Почему это ответ

Ожидаемая работа quickselect со случайными опорными элементами n + n/2 + n/4 + ... = O(n); выбор опорного элемента как медианы медиан делает худший случай линейным.

Ответ

D · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
3.Структуры данных

Ответ: B · Стек вызовов

Почему это ответ

Каждый вызов помещает в стек кадр (push), а каждый возврат его извлекает (pop), поэтому самый последний вызов завершается первым.

Ответ

B · Стек вызовов
4.Структуры данных

Ответ: D · Равные ключи должны иметь равные значения хеша

Почему это ответ

Если бы два равных ключа хешировались по-разному, они хранились бы в разных корзинах и поиск не удавался бы; неравные ключи вполне могут иметь общий хеш.

Ответ

D · Равные ключи должны иметь равные значения хеша
5.Теория графов

Ответ: L = 5

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 15 = 2(L + 6) − 2
L = 5

Ответ

L = 5

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: E

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 14, C: 13
2. C (13): E: 18
3. B (14): D: 22
4. E (18): F: 24
5. D (22)
6. F (24)

шаг 4

E

Ответ

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms