Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Верно ли утверждать, что алгоритм O(n²) также является O(n³)?

  1. AНет, потому что при больших n значение n³ меньше n²
  2. BДа, потому что O большое — верхняя граница, а n² растёт не быстрее n³
  3. CДа, но только если n меньше 100
  4. DНет, потому что O большое всегда должно указывать точную скорость роста функции
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Как алгоритм Беллмана–Форда обнаруживает цикл отрицательного веса, достижимый из источника?

  1. AОн дважды запускает алгоритм Дейкстры и сравнивает два полученных результата расстояний
  2. BОн подсчитывает циклы поиском в глубину
  3. CОн проверяет, есть ли ребро с отрицательным весом
  4. DПосле V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро
3.Структуры данныхСредняя

Что верно для матрицы смежности неориентированного графа?

  1. AОна всегда верхнетреугольная
  2. BНа её главной диагонали всегда стоят единицы
  3. CВ каждой строке ровно одна 1
  4. DОна симметрична относительно главной диагонали
4.Структуры данныхСложная

Как определить, есть ли цикл в односвязном списке, используя O(1) дополнительной памяти?

  1. AХранить каждый посещённый узел в хеш-множестве
  2. BДвигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они
  3. CОтсортировать список и искать повторы
  4. DСчитать узлы, пока счёт не превысит поле длины списка
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
458554163ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Да, потому что O большое — верхняя граница, а n² растёт не быстрее n³

Почему это ответ

O большое — верхняя граница, поэтому утверждение верно, но не точно; Θ(n²) указывает точную скорость роста.

Ответ

B · Да, потому что O большое — верхняя граница, а n² растёт не быстрее n³
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · После V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро

Почему это ответ

Все истинные кратчайшие расстояния находятся за V − 1 раундов; если ребро ещё можно улучшить, значит, существует отрицательный цикл.

Ответ

D · После V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро
3.Структуры данных

Ответ: D · Она симметрична относительно главной диагонали

Почему это ответ

В неориентированном графе ребро {u, v} означает, что установлены и M[u][v], и M[v][u], поэтому матрица равна своей транспонированной.

Ответ

D · Она симметрична относительно главной диагонали
4.Структуры данных

Ответ: B · Двигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они

Почему это ответ

В алгоритме Флойда при наличии цикла быстрый указатель в итоге догоняет медленный; иначе быстрый указатель доходит до null.

Ответ

B · Двигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 10

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 4, C: 5
B (4): D: 9, E: 7
C (5)
E (7): F: 13
D (9): F: 10
F (10)

Кратчайший путь

A → B → D → F
d(F) = 10

Ответ

d(F) = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms